Monoidi: Esercizi

[Neptune]

Ciao a tutti,
stavo cercando esercizi non troppo dificili sui monoidi che trattassero tra l'altro i sottomonoidi e il gruppo degli elementi invertibili di un monoide ed i morfismi.
Non riesco a trovare molto in rete, me ne basterebbe qualcuno giusto per "applicare un pò le formule", magari con le soluzioni.

Purtroppo io non ho granchè, la professoressa è andata di fretta e praticamente ci ha scritto le formule e due esempi due, io vorrei provare a fare qualche esercizio di mio ma in rete non sto riuscendo a trovare "cose semplici". Anzi diciamo che sui monoidi non sono riuscito a trovare quasi nulla.

Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione,
Neptune.

[Neptune]

Ad esempio stavo svolgendo il seguente esercizio:

Consideriamo \( \displaystyle {\left(\mathbb{R},\star\right)} \) con \( \displaystyle {a}\star{b}={a}{b}-{a}-{b}+{2} \)
Dimostrare che è un monoide e non un gruppo.

Ho trovato che l'operazione \( \displaystyle \star \) è associativa, ma non riesco a trovare l'elemento neutro.

[deserto]

\( \displaystyle {e}={2} \) dovrebbe funzionare.

[Neptune]

Giusto. Avevo provato con \( \displaystyle \frac{{1}}{{a}} \) e \( \displaystyle {0} \) e \( \displaystyle {1} \), a \( \displaystyle {2} \) non ci ero prorpio arrivato!

Ecco perchè vorrei trovare un pò di esercizi da fare per diventare un pò più elastico nei calcoli.

[deserto]

Forse non dovevi andare a tentativi, era sufficiente scrivere così: sia \( \displaystyle {e} \) l'elemento neutro, allora
\( \displaystyle {a}\star{e}={a} \)
D'altra parte si ha: \( \displaystyle {a}\star{e}={a}{e}-{a}-{e}+{2} \)
Da cui uguagliando \( \displaystyle {a}{e}-{a}-{e}+{2}={a} \) ti ritrovi \( \displaystyle {e}={2} \)

[Neptune]

E come te lo trovi da li che \( \displaystyle {e}={2} \)?

[deserto]

\( \displaystyle {a}{e}-{a}-{e}+{2}={a}\Rightarrow{a}{e}-{e}={a}+{a}-{2}\Rightarrow{e}{\left({a}-{1}\right)}={2}{\left({a}-{1}\right)}\Rightarrow{e}={2} \) semplificando per \( \displaystyle {a}-{1} \). Il caso \( \displaystyle {a}={1} \) lo si verifica a parte direttamente con \( \displaystyle {e}={2} \).