morfismo di gruppi

[lewis]

Ciao.
Oggi ho l'orale di matematica discreta
Se porto come esempio di morfismo di gruppi \( \displaystyle {{a}}^{{x}} \) può essere corretto?
Cioè:

( \( \displaystyle \mathbb{R} \), +, 0, ) \( \displaystyle \to \) ((\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{+} \), *, 1, ..)
con in più la proprietà di conservazione dell'inverso.

Infatti:

\( \displaystyle \forall \) x \( \displaystyle \in \) \( \displaystyle \mathbb{R} \) \( \displaystyle {{a}}^{{x}} \) \( \displaystyle \in \) \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{0}} \)

\( \displaystyle {{a}}^{{{x}+{y}}} \) = \( \displaystyle {{a}}^{{x}} \) * \( \displaystyle {{a}}^{{y}} \)

\( \displaystyle {{a}}^{{0}} \) = 1

\( \displaystyle {{a}}^{{{x}+{\overline{{x}}}}} \) =\( \displaystyle {{a}}^{{{x}-{x}}} \) = \( \displaystyle {{a}}^{{0}} \) =1= elemento neutro (poichè è una somma \( \displaystyle {\overline{{x}}} \)= -x

che ne dite?

Grazie in anticipo. ciao

Lew

[rubik]

Il morfismo va bene, la "conservazione dell'inverso" è una proprietà che i morfismi di gruppi hanno sempre, insieme a quella di mandare l'identità nell'identità infatti:

sia \( \displaystyle \phi:{\left({G},\cdot,{e}\right)}\to{\left({H},\times,{e}'\right)} \) un morfismo di gruppi allora:

\( \displaystyle \phi{\left({x}\right)}=\phi{\left({x}\cdot{e}\right)}=\phi{\left({x}\right)}\times\phi{\left({e}'\right)} \) moltiplico per \( \displaystyle \phi{{\left({x}\right)}}^{{-{1}}} \) (esiste perchè \( \displaystyle {H} \) è un gruppo) da entrambe le parti ed ottengo \( \displaystyle {e}'=\phi{\left({e}\right)} \)

\( \displaystyle {e}'=\phi{\left({e}\right)}=\phi{\left({x}\cdot{{x}}^{{-{1}}}\right)}=\phi{\left({x}\right)}\times\phi{\left({{x}}^{{-{1}}}\right)} \) moltiplico per \( \displaystyle \phi{{\left({x}\right)}}^{{-{1}}} \) ottengo \( \displaystyle \phi{{\left({x}\right)}}^{{-{1}}}=\phi{\left({{x}}^{{-{1}}}\right)} \)