Morfismo di reticoli

[Neptune]

Salve a tutti,
ho qualche problema con la definizione di morfismo di reticoli. Negli appunti ho scritto:

Siano \( \displaystyle {\left({A},\bigwedge,\bigvee\right)},{\left({A}',\bigwedge,\bigvee\right)} \) reticoli,
\( \displaystyle {F}:{A}\rightarrow{A}' \) è un morfismo di reticoli se e solo se:

1) \( \displaystyle \forall{x},{y}\in{A} \) \( \displaystyle {F}{\left({x}\bigwedge{y}\right)}={F}{\left({x}\right)}\bigwedge{f{{\left({y}\right)}}} \)
2) \( \displaystyle {F}{\left({x}\bigvee{y}\right)}={f{{\left({x}\right)}}}\bigvee{f{{\left({y}\right)}}} \)

Ma quando si parla di morfismi in generale (vedi per i gruppi) di solito non si ha che l'operazione del primo e del secondo gruppo sono diverse e si ha un morfismo se l'operazione del primo gruppo "agisce in qualche modo" sul secondo gruppo e viceversa? Sui morfismi di reticoli invece ci sono operazioni uguali e "domini" diversi?

Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità,
Neptune.

[blackbishop13]

Ma quando si parla di morfismi in generale (vedi per i gruppi) di solito non si ha che l'operazione del primo e del secondo gruppo sono diverse?

Non è necessario che siano diverse, è quello il punto. Tu definisci le operazioni che vuoi, possono anche essere definite nello stesso modo, nessun problema.
L'importante è che rispettino le condizioni di morfismo, quelle che hai scritto tu.

[Neptune]

Si ma se fossero diverse, se avessi \( \displaystyle {\left({A},\bigwedge,\bigvee\right)} \) e \( \displaystyle {\left({A}',\bigwedge',\bigvee'\right)} \) un eventuale morfismo tra questi due reticoli come verrebbe definito?

Ovvero non dovrebbe diventare la prima qualcosa del tipo:
\( \displaystyle \forall{x},{y}\in{A} \) \( \displaystyle {F}{\left({x}\bigwedge{y}\right)}={F}{\left({x}\right)}\bigwedge'{F}{\left({y}\right)} \) ? e viceversa se prendessimo due elementi di \( \displaystyle {A}' \)?

Insomma praticamente, un morfismo, non dovrebbe mandare gli elementi di \( \displaystyle {A} \) in \( \displaystyle {A}' \) ? per questo si dice un morfismo di \( \displaystyle {A}\rightarrow{A}' \) no?

[blackbishop13]

Sì certo.
ed è anche vero che se tra due elementi \( \displaystyle {a},{b}\in{A} \) puoi fare una qualunque operazione definita su \( \displaystyle {A} \),chiamiamola \( \displaystyle +_{{A}} \) ovvero ha senso
dire \( \displaystyle {a}+_{{A}}{b} \)
invece non ha senso dire \( \displaystyle {f{{\left({a}\right)}}}+_{{A}}{f{{\left({b}\right)}}} \) se \( \displaystyle {f{{\left({a}\right)}}} \) e \( \displaystyle {f{{\left({b}\right)}}} \) non appartengono ad \( \displaystyle {A} \).
Diremo \( \displaystyle {f{{\left({a}\right)}}}+_{{B}}{f{{\left({b}\right)}}} \) se \( \displaystyle {f{{\left({a}\right)}}},{f{{\left({b}\right)}}}\in{B} \)

ma se tu definisci un'operazione nel tuo caso \( \displaystyle \bigwedge \) che va bene sia per elementi di \( \displaystyle {A} \) che di \( \displaystyle {B} \), sei a posto.

[Neptune]

Sì certo.
ed è anche vero che se tra due elementi \( \displaystyle {a},{b}\in{A} \) puoi fare una qualunque operazione definita su \( \displaystyle {A} \),chiamiamola \( \displaystyle +_{{A}} \) ovvero ha senso
dire \( \displaystyle {a}+_{{A}}{b} \)
invece non ha senso dire \( \displaystyle {f{{\left({a}\right)}}}+_{{A}}{f{{\left({b}\right)}}} \) se \( \displaystyle {f{{\left({a}\right)}}} \) e \( \displaystyle {f{{\left({b}\right)}}} \) non appartengono ad \( \displaystyle {A} \).
Diremo \( \displaystyle {f{{\left({a}\right)}}}+_{{B}}{f{{\left({b}\right)}}} \) se \( \displaystyle {f{{\left({a}\right)}}},{f{{\left({b}\right)}}}\in{B} \)

ma se tu definisci un'operazione nel tuo caso \( \displaystyle \bigwedge \) che va bene sia per elementi di \( \displaystyle {A} \) che di \( \displaystyle {B} \), sei a posto.

Quindi la definizione è così strutturata perchè nei morfismi di reticoli si tende ad usare "la medesima operazione" ?

E quale potrebbe essere un esempio numerico di morfismi tra gruppi? Magari cosi riesco "a fissarlo meglio in mente", perchè non riesco a collegarlo a nulla di pratico.

[blackbishop13]

Secondo me non devi farti troppi problemi, sempicemente ricordati che in ogni gruppo, anello reticolo o quello che vuoi devi avere una specifica operazione, che sia ben definita. Poi se è la stessa fra due di questi non importa niente, non ci interessa.

Un esempio pratico di una applicazione??? che domanda bizzarra!
no guarda non mi sembra il caso, gli esempi che posso farti io secondo me non farebbero altro che confonderti.

Per capire bene cos'è non hai che da imparare bene la definizione e capire come funziona. Poi prendi tutto come ente matematico, è un morfismo ciò che rispetta tali proprietà, punto. lo so che non è facile, ma secondo me il processo di astrazione di un concetto è davvero davvero fondamentale.

Poi magari qualcuno sa farti un bellissimo esempio chiarificatore, ma non è il mio caso, mi dispiace!