Mosfet a CASCODE: cosa significa \( \displaystyle {g}_{{{m}{3}}}{r}_{{{o}{3}}}{r}_{{{o}{2}}} \)?

[hastings]

Salve a tutti,
Sto studiando gli amplificatori differenziali con Mosfet nelle varie configuraz a specchio di corrente (CASCODE e Wilson).
In particolare, nella prima foto, è raffigurata la config a CASCODE:

Il libro dice di considerare Q3 e Q2 per la resistenza d'uscita. Dice di sostituire Q2 con la sua \( \displaystyle {r}_{{{02}}} \) e Q3 con un generatore di tensione \( \displaystyle {v}_{{x}} \) e una relativa corrente \( \displaystyle {i}_{{x}} \), cosicché \( \displaystyle {R}_{{o}}=\frac{{v}_{{x}}}{{i}_{{x}}} \):


Quindi il circuito diventa (modello x piccoli segn):


Perciò si ha, dice il libro:
\(\displaystyle R_o = \frac{v_x}{i_x}= r_{o3} + r_{o2} + g_{m3}\, r_{o3}\, r_{o2} \approx (g_{m3}\,r_{o3}) \, r_{o2}\)
DOMANDA: capisco che \( \displaystyle {r}_{{{o}{3}}} \) è in serie con \( \displaystyle {r}_{{{o}{2}}} \), ma cosa c'entra \( \displaystyle {g}_{{{m}{3}}}{r}_{{{o}{3}}}{r}_{{{o}{2}}} \)? Da dove si ricava?

[elgiovo]

Non è in serie!! Non vedi che c'è il generatore pilotato? Casomai \( \displaystyle {r}_{{{02}}} \) è in serie con il parallelo tra \( \displaystyle {r}_{{{03}}} \) e il generatore. Quella ricavata è una nota espressione per l'impedenza di drain di due mosfet impilati, ovvero l'impedenza di drain del mos più in basso moltiplicata per il guadagno di tensione del mos più in alto.

[hastings]

Non è in serie!! Non vedi che c'è il generatore pilotato?

Resta il fatto che non ho capito come si ottiene \( \displaystyle {r}_{{{o}{3}}}+{r}_{{{o}{2}}}+{g}_{{{m}{3}}}{r}_{{{o}{3}}}{r}_{{{o}{2}}} \).
Suppongo che la corrente \( \displaystyle {i}_{{x}} \) scorra su \( \displaystyle {r}_{{{o}{3}}} \) e \( \displaystyle {r}_{{{o}{2}}} \) cioè, qual è la maglia?
\( \displaystyle {v}_{{x}}={i}_{{x}}{\left(\ldots\right)} \) ??
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmelo con un po' di pazienza? Grazie.

[elgiovo]

La corrente che scorre nel MOSFET Q3 è pari a \( \displaystyle -{g}_{{{m}{3}}}{v}_{{{g{{s}}}{3}}}=-{g}_{{{m}{3}}}{r}_{{{o}{2}}}{i}_{{x}} \) (\( \displaystyle {v}_{{{g{{3}}}}}={0} \) su piccolo segnale, il segno meno è perché la caduta su \( \displaystyle {r}_{{{02}}} \) tende a diminuire la \( \displaystyle {v}_{{{g{{s}}}}} \) di Q3). In \( \displaystyle {r}_{{{03}}} \) invece scorre (legge di Ohm) \( \displaystyle {\frac{{{v}_{{{x}}}-{r}_{{{o}{2}}}{i}_{{x}}}}{{{r}_{{{03}}}}}} \), e applicando Kirchhoff al drain di Q2 ottieni

\(\displaystyle i_x=-g_{m3}r_{o2}i_x + \frac{v_x-r_{o2}i_x}{r_{o3}} \)

da cui

\(\displaystyle Z_{out}=\frac{v_x}{i_x}=r_{o2}+r_{o3}+g_{m3}r_{o3}r_{o2} \)

che si può in genere approssimare con \( \displaystyle {g}_{{{m}{3}}}{r}_{{{o}{3}}}{r}_{{{o}{2}}} \), che come ho detto prima è la resistenza d'uscita dell'ultimo mos (Q2) moltiplicata per il guadagno del mos cascode (Q3).