Mostrare che un ideale non è principale

[wide87]

Come poter provare che nell'anello $Z[sqrt(-5)]$ l'ideale $(3, -1+sqrt(-5))$ non è principale??
Ho provato ad ipotizzare l'esistenza di un elemento generatore di tale ideale ma non riesco a pervenire ad un assurdo.
Sul libro per questo esercizio non è neanche proposta soluzione e ciò mi turba perchè forse è segno che si tratti di qualcosa di molto semplice...
Ma ho pensato di chiedere comunque il Vostro aiuto..
Grazie mille

[mistake89]

Forse pensando alla norma riesci a concludere.
Se infatti prendi il tuo generatore $a+b\sqrt(-5)$ questo ha norma $a^2+b^2$, allora essa divide $|3|=9$ e $|-1+\sqrt(-5)|=2$, ma allora $a^2+b^2=1$
da cui dovresti giungere alla tesi.

Però non maneggio gli anelli da un po' quindi magari ho detto bischerate

[wide87]

Ma la norma di $a+bsqrt(-5)$ è $a^2 + 5b^2$

[wide87]

così come la norma di $-1 + sqrt(-5)$ è 6

[mistake89]

Beh no; per analogia con la norma introdotta sugli interi di gauss ad esempio $N(a+ib)=a^2+b^2$. Ora se chiami $alpha=\sqrt(-5)$ hai quello che ho scritto.

[Martino]

Beh no; per analogia con la norma introdotta sugli interi di gauss ad esempio $N(a+ib)=a^2+b^2$. Ora se chiami $alpha=\sqrt(-5)$ hai quello che ho scritto.

No, mistake

Se si definisse \( \displaystyle N(a+\sqrt{-5} b) := a^2+b^2 \) si perderebbe la moltiplicativita'. Infatti

\( \displaystyle N((a+\sqrt{-5}b)(a-\sqrt{-5}b)) = N(a^2+5b^2) = (a^2+5b^2)^2 \) , mentre

\( \displaystyle N(a+\sqrt{-5}b) N(a-\sqrt{-5}b) = (a^2+b^2) (a^2+b^2) = (a^2+b^2)^2 \) .

In generale data un'estensione (di Galois) di campi \( \displaystyle F/K \) la norma di un elemento \( \displaystyle x \in F \) e' definita come \( \displaystyle N(x) := \prod_{\sigma \in \text{Aut}_K(F)} \sigma(x) \) , dove \( \displaystyle \text{Aut}_K(F) \) consiste degli automorfismi di campo di \( \displaystyle F \) che ristretti a \( \displaystyle K \) sono l'identita'. [e si dimostra che se l'estensione e' di Galois la norma ha valori in \( \displaystyle K \) ]

Comunque la tua idea, mistake, funziona: se chiami \( \displaystyle a+\sqrt{-5}b \) un generatore, la sua norma deve dividere \( \displaystyle 9 \) e \( \displaystyle 6 \) , quindi deve dividere \( \displaystyle 3 \) , e a questo punto concludere e' facile.

[mistake89]

Grazie Martino
Queste cose che hai detto purtroppo non le sapevo, mi son mosso un po' a tentoni. Purtroppo non aver seguito nessun corso che trattasse la Teoria di Galois mi spezza un po' le gambe!
Dovrò rimediare in solitaria

[Martino]

Detta in soldoni, la norma di un elemento e' definita come il prodotto degli zeri del suo polinomio minimo

[gugo82]

@Martino: Visto che anch'io sono a digiuno di Teoria di Galois, approfitto per chidere una cosa (forse banale): in che rapporto è la norma definita come hai appena detto tu con quella che di solito si mette su \( \displaystyle \mathbb{C} \) , ad esempio?

[Martino]

@Martino: Visto che anch'io sono a digiuno di Teoria di Galois, approfitto per chidere una cosa (forse banale): in che rapporto è la norma definita come hai appena detto tu con quella che di solito si mette su \( \displaystyle \mathbb{C} \) , ad esempio?

Beh, bisogna fare un "distinguo": in algebra la norma di \( \displaystyle a+ib \in \mathbb{C} \) e' \( \displaystyle a^2+b^2 \) , non \( \displaystyle \sqrt{a^2+b^2} \) . Il gruppo di Galois dell'estensione \( \displaystyle \mathbb{C}/\mathbb{R} \) e' il gruppo degli automorfismi di \( \displaystyle \mathbb{C} \) che ristretti a \( \displaystyle \mathbb{R} \) sono l'identita', e tale gruppo viene denotato con \( \displaystyle \mathcal{G}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \) oppure \( \displaystyle \text{Aut}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) \) . L'osservazione importante e' che se \( \displaystyle K \subseteq F \) sono due campi e \( \displaystyle \sigma \in \text{Aut}_K(F) \) e \( \displaystyle P(x) \in K[X] \) ammette uno zero \( \displaystyle a \in F \) allora anche \( \displaystyle \sigma(a) \) e' uno zero di \( \displaystyle P(x) \) (infatti \( \displaystyle P(\sigma(a)) = \sigma(P(a)) = \sigma(0)=0 \) , dove la prima uguaglianza e' dovuta al fatto che \( \displaystyle \sigma|_K=\text{id}_K \) ). Nel nostro caso, questo dice che \( \displaystyle \sigma \in \text{Aut}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) \) deve fissare tutto \( \displaystyle \mathbb{R} \) e fissa oppure scambia i due zeri di \( \displaystyle x^2+1 \) , cioe' e' l'identita' \( \displaystyle 1 \) oppure il coniugio \( \displaystyle \tau \) . In altre parole \( \displaystyle \text{Aut}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=\{1,\tau\} \cong C_2 \) . La norma di \( \displaystyle a+ib \) e' il prodotto di \( \displaystyle \sigma(a+ib) \) al variare di \( \displaystyle \sigma \in \text{Aut}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) \) (come ho detto sopra), quindi e' uguale a \( \displaystyle (a+ib) \cdot \tau(a+ib) = (a+ib) \cdot (a-ib)=a^2+b^2 \) . Se l'estensione finita \( \displaystyle K \subseteq F \) (si denota spesso con \( \displaystyle F/K \) ) e' di Galois (in caratteristica zero questo equivale a chiedere che \( \displaystyle F \) sia un campo di spezzamento su \( \displaystyle K \) di un qualche polinomio di \( \displaystyle K[X] \) , ed e' il caso per esempio di \( \displaystyle \mathbb{C}/\mathbb{R} \) con \( \displaystyle P(x)=x^2+1 \) - ma piu' in generale tutte le estensioni di grado 2 sono di Galois) allora si dimostra che la norma ha valori nel campo base \( \displaystyle K \) (nel nostro caso questo dice semplicemente che \( \displaystyle a^2+b^2 \in \mathbb{R} \) , che sapevamo gia' avendo fatto il conto). Ma se uno prende per esempio \( \displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q} \) le cose non funzionano cosi' bene (la norma non ha valori in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) ) perche' qui l'unico automorfismo e' l'identita' (ovvio: \( \displaystyle \sqrt[3]{2} \) e' l'unico zero del suo polinomio minimo che appartiene all'estensione). In genere la norma si definisce solo per estensioni di Galois. Un'ultima cosa: la traccia di \( \displaystyle a \in F \) e' invece definita come la somma \( \displaystyle \sum_{\sigma} \sigma(a) \) e anche questa ha valori in \( \displaystyle K \) se l'estensione e' di Galois, e anche questa si definisce solo su estensioni di Galois. Addirittura, se \( \displaystyle L/K \) e' di Galois finita allora la funzione traccia \( \displaystyle L \to K \) e' suriettiva. Ora mi fermo