Normalità e quozienti

[Martino]

Forse dimostrando che \( \displaystyle {S}{L}{\left({n},{K}\right)} \) è normale in \( \displaystyle {G}{L}{\left({n},{K}\right)} \)\( \displaystyle \Leftrightarrow{A}{S}{L}{\left({n},{K}\right)}{{A}}^{{-{1}}}\subset{S}{L}{\left({n},{K}\right)} \) con \( \displaystyle {A}\in{G}{L}{\left({n},{K}\right)} \)

Certo, questo va bene. La cosa che devi poi usare è il fatto che se hai due matrici quadrate \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \) dello stesso ordine si ha \( \displaystyle {\det{{\left({A}{B}\right)}}}={\det{{\left({A}\right)}}}{\det{{\left({B}\right)}}} \) e \( \displaystyle {\det{{\left({{A}}^{{-{1}}}\right)}}}={{\det{{\left({A}\right)}}}}^{{-{1}}} \) quando \( \displaystyle {A} \) è invertibile. In altre parole la funzione \( \displaystyle {\det{:}}{G}{L}{\left({n},{K}\right)}\to{K}-{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \) è un omomorfismo di gruppi.

[mistake89]

Ciao Martino, grazie ancora.
Stamattina a lezione l'ho risolto, effettivamente era semplice ma la stanchezza mi ha deviato!

Grazie ancora, proverò a fare gli altri esercizi che proponesti, nel caso incontrassi qualche difficoltà proverò ad esporle.

[mistake89]

Volevo proporvi questo esercizi che abbiamo svolto in aula ma nel rivederlo mi sono sorti dei dubbi (derivanti forse dal fatto che l'argomento è stato trattato con nozioni che ancora non abbiamo fatto!)

L'esercizio era: determinare tutti i sottogruppi normali di \( \displaystyle {D}_{{4}} \) (il gruppo diedrale)!
Allora il professore ci ha detto che possiamo sempre immergere il gruppo diedrale \( \displaystyle {D}_{{n}} \) in \( \displaystyle {S}_{{n}} \) (nel caso di \( \displaystyle {S}_{{3}} \) e di \( \displaystyle {D}_{{3}} \) sussiste proprio l'isomorfismo), identificando le rotazioni ed i ribaltamenti come le permutazioni dei vertici!
Allora abbiamo considerato \( \displaystyle {D}_{{4}} \) come generato dal seguente sottogruppo di \( \displaystyle {S}_{{4}} \) \( \displaystyle \lt{\left({1},{2},{3},{4}\right)}{\left({2},{4}\right)}\ge{\left\lbrace{i}{d},{\left({1},{2},{3},{4}\right)},{\left({1},{4},{3},{2}\right)},{\left({1},{3}\right)}{\left({2},{4}\right)},{\left({1},{2}\right)}{\left({3},{4}\right)},{\left({1},{4}\right)}{\left({2},{3}\right)},{\left({2},{4}\right)},{\left({1},{3}\right)}\right\rbrace} \)

consideriamo allora gli insiemi formati dai cicli che hanno la stessa struttura ciclica. Ognuno di loro è unione di classi di coniugio, ma dal teorema dell'orbita dello stabilizzatore (che però non abbiamo fatto, visto che riguarda le azioni) sappiamo che la cardinalità delle classi coniugate divide l'ordine del gruppo.
Quindi le nostre classi possono avere cardinalità \( \displaystyle {1},{2},{4},{8} \) avendo \( \displaystyle {D}_{{4}}={2}\cdot{4} \) elementi. Ora però ho una domanda: ma non bastava che due elementi avessero lo stessa struttura ciclica per dire che essi son coniugati? Ho come l'impressione che è il fatto di identificare \( \displaystyle {D}_{{4}} \) con \( \displaystyle {S}_{{4}} \) a creare tutti questi problemi.

Ora quindi devo capire quali sono le classi di coniugio in \( \displaystyle {D}_{{4}} \), ma come fare? Devo prendere ogni elemento e coniugarlo con tutti gli altri?
Una volta identificata poi la cardinalità delle classi diventa semplice costruirmi i gruppi normali.

Grazie mille!

[Martino]

ma non bastava che due elementi avessero lo stessa struttura ciclica per dire che essi son coniugati?

In \( \displaystyle {S}_{{4}} \) sì, ma tu li vuoi coniugati in \( \displaystyle {D}_{{4}} \), che è diverso. Cioè vuoi che l'elemento che coniuga appartenga a \( \displaystyle {D}_{{4}} \).

Un'idea per trovare i sottogruppi normali di \( \displaystyle {D}_{{4}} \): osserva che un sottogruppo non banale ha indice 2 oppure 4, e se ha indice 4 ed è normale allora è centrale, e se ha indice 2 è automaticamente normale. Sei quindi ridotto a trovare il centro di \( \displaystyle {D}_{{4}} \) e i sottogruppi di ordine 4.

Una volta identificata poi la cardinalità delle classi diventa semplice costruirmi i gruppi normali.

Attento però al solito discorso: un'unione di classi di coniugio di cardinalità un divisore dell'ordine del gruppo non è automaticamente un sottogruppo.

[mistake89]

Quindi era come immaginavo era \( \displaystyle {D}_{{4}} \) a dar fastidio!
E per trovare allora le classi di coniugio in \( \displaystyle {D}_{{4}} \) partendo da quelli di \( \displaystyle {S}_{{4}} \) devo prendere e coniugare?

Il centro di un sottogruppo è dato dagli elementi che commutano nel gruppo vero? Perchè se un gruppo ha indice \( \displaystyle {4} \) ed è normale allora è centrale (cioè coincide con il centro?).
Scusami se ti tempesto di domande, purtroppo gli strumenti che ho a disposizione sono ancora molto pochi!

Proprio ora mi è venuta un'idea circa il fatto che se \( \displaystyle {H} \) è normale in \( \displaystyle {G} \), ed ha indice \( \displaystyle {4} \) allora è centrale.
Se l'indice è \( \displaystyle {4} \) vuol dire che \( \displaystyle {\left|{H}\right|}={2} \) cioè \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{i}{d},{h}\right\rbrace} \). Inoltre dire che \( \displaystyle {H} \) è normale in \( \displaystyle {G} \) vuol dire che \( \displaystyle \forall{g{\in}}{G} \) \( \displaystyle {g{{H}}}={H}{g} \), ma essendo \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{i}{d},{h}\right\rbrace} \) si ha \( \displaystyle {g{{h}}}={h}{g} \) cioè gli elementi commutano e quindi \( \displaystyle {H}={Z}{\left({G}\right)} \). Ho preso un granchio?
forse questa cosa vale solo per il gruppo diedrale e quindi andava preso \( \displaystyle {H}=\lt\tau\gt \) oppure vale in generale?

Grazie

PS ho letto ora il tuo edit: sisi questo l'ho capito

[Martino]

E per trovare allora le classi di coniugio in \( \displaystyle {D}_{{4}} \) partendo da quelli di \( \displaystyle {S}_{{4}} \) devo prendere e coniugare?

Il punto è che non ti serve conoscere le classi di coniugio per fare l'esercizio.

Il centro di un sottogruppo è dato dagli elementi che commutano nel gruppo vero? Perchè se un gruppo ha indice \( \displaystyle {4} \) ed è normale allora è centrale (cioè coincide con il centro?).

Un sottogruppo si dice centrale se è contenuto nel centro.

Proprio ora mi è venuta un'idea circa il fatto che se \( \displaystyle {H} \) è normale in \( \displaystyle {G} \), ed ha indice \( \displaystyle {4} \) allora è centrale.
Se l'indice è \( \displaystyle {4} \) vuol dire che \( \displaystyle {\left|{H}\right|}={2} \) cioè \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{i}{d},{h}\right\rbrace} \). Inoltre dire che \( \displaystyle {H} \) è normale in \( \displaystyle {G} \) vuol dire che \( \displaystyle \forall{g{\in}}{G} \) \( \displaystyle {g{{H}}}={H}{g} \), ma essendo \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{i}{d},{h}\right\rbrace} \) si ha \( \displaystyle {g{{h}}}={h}{g} \) cioè gli elementi commutano e quindi \( \displaystyle {H}={Z}{\left({G}\right)} \). Ho preso un granchio?

No hai detto bene. Conveniva forse osservare che se \( \displaystyle {{g}}^{{-{1}}}{h}{g{\in}}{\left\lbrace{1},{h}\right\rbrace} \) allora \( \displaystyle {{g}}^{{-{1}}}{h}{g{=}}{h} \) perché dev'essere \( \displaystyle {{g}}^{{-{1}}}{h}{g{\ne}}{1} \).

forse questa cosa vale solo per il gruppo diedrale e quindi andava preso \( \displaystyle {H}=\lt\tau\gt \) oppure vale in generale?

Vale in generale che se un sottogruppo ha ordine 2 ed è normale allora è centrale. Il fatto è che l'unico elemento non identico dev'essere coniugato in se stesso (non può essere coniugato a 1).

Ma attenzione: in generale non ogni sottogruppo normale ciclico è centrale, nemmeno se ha ordine primo.

[mistake89]

Inizio a capire...!

Grazie mille Martino, mi sei di grande aiuto!

[Martino]

Dimenticavo:

essendo \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{i}{d},{h}\right\rbrace} \) si ha \( \displaystyle {g{{h}}}={h}{g} \) cioè gli elementi commutano e quindi \( \displaystyle {H}={Z}{\left({G}\right)} \).

Non puoi dedurre che \( \displaystyle {H}={Z}{\left({G}\right)} \), ma puoi dedurre che \( \displaystyle {H}\subseteq{Z}{\left({G}\right)} \).

Prego!

[mistake89]

Vi propongo un esercizio che sta facendo emergere un mio dubbio.

L'esercizio mi sembra semplice, calcolare il centro di \( \displaystyle {A}_{{4}} \) e verificare che esso è banale.

Io ho pensato: \( \displaystyle {Z}{\left({A}_{{4}}\right)} \) sarebbero i cicli che in \( \displaystyle {A}_{{4}} \) commutano tra loro, quindi \( \displaystyle {g{\in}}{Z}{\left({A}_{{4}}\right)}\Leftrightarrow{g{{x}}}{{g}}^{{-{1}}}={x} \) \( \displaystyle \forall\xi{n}{A}_{{4}} \), quindi se la classe di coniugio di un elemento è ridotta al solo elemento. Quindi il centro sarà formato dall'unione degli elementi autoconiugati.

Mi scrivo \( \displaystyle {A}_{{n}} \) e cerco le classi di coniugazione. Osservo anzitutto che per il teorema dello stabilizzatore (non lo conosco a fondo però), le classi possono avere ordine \( \displaystyle {1},{2},{3},{4},{6},{12} \). Quindi sicuramente la classe dei \( \displaystyle {3} \) cicli si deve spezzare, avendo ordine \( \displaystyle {8} \), e dovrei verificare anche la classe dei \( \displaystyle {2}-{2} \) cicli.

Ora però mi domando due cose, saranno stupide immagino: Le classi di coniugio, così come i laterali partizionano \( \displaystyle {G} \)? Cioè più accadere che un elemento sia coniugato con più elementi?
Seconda, più pratica: nel problema cui sopra, come devo procedere per trovare le classi? La definizione non è molto operativa, e non credo che prendere un elemento e coniugarlo con tutti gli altri sia la soluzione migliore.

Grazie ancora per la pazienza.

[Martino]

Un elemento \( \displaystyle {g} \) di \( \displaystyle {A}_{{4}} \) sta nel centro di \( \displaystyle {A}_{{4}} \) se e solo se \( \displaystyle {g{\sigma}}=\sigma{g} \) per ogni \( \displaystyle \sigma\in{A}_{{4}} \).

Prendiamo \( \displaystyle {g} \) nel centro di \( \displaystyle {A}_{{4}} \), e definiamo \( \displaystyle \sigma_{{i}} \) come uno (qualsiasi) dei due 3-cicli di \( \displaystyle {A}_{{4}} \) che fissano \( \displaystyle {i} \). Se \( \displaystyle {i}\in{\left\lbrace{1},{2},{3},{4}\right\rbrace} \) si deve avere \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}}={g{{\left(\sigma_{{i}}{\left({i}\right)}\right)}}}=\sigma_{{i}}{\left({g{{\left({i}\right)}}}\right)} \)...

Le classi di coniugio, così come i laterali partizionano \( \displaystyle {G} \)?

Esatto.

come devo procedere per trovare le classi?

Spesso cercare le classi di coniugio di un gruppo è abbastanza difficile. C'è un teorema che dice come sono fatte le classi di coniugio di \( \displaystyle {A}_{{n}} \), ma non è banalissimo.