Normalità e quozienti

[mistake89]

Grazie Martino. Ho provato a cercare questo teorema sul mio libro ma non l'ho trovato riferito ad \( \displaystyle {A}_{{n}} \).

Quanto al tuo suggerimento, devo mostrare alla fine che \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}}={i} \)? Cioè che una permutazione che sta nel centro fissa \( \displaystyle {i} \), e quindi, data l'arbitrarietà di \( \displaystyle {i} \) posso concludere che essa è l'identità.
Ci penso ancora un pò!

[mistake89]

Non sono riuscito a continuare questa dimostrazione su centro di \( \displaystyle {A}_{{4}} \) nel modo da te indicato Martino, mi potresti dare ancora un suggerimento? Ammesso che poi sia giusto il modo di arrivare a mostrare che è l'identità quello che ho scritto nel post precedente.

Io pensavo una cosa del genere.
\( \displaystyle {g{\in}}{Z}{\left({A}_{{4}}\right)} \). Allora \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}}={g{{\left(\sigma{\left({i}\right)}\right)}}}=\sigma{\left({g{{\left({i}\right)}}}\right)} \) Ora se \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}} \) fosse diversa da \( \displaystyle {i} \), allora \( \displaystyle \sigma{\left({g{{\left({i}\right)}}}\right)} \) sarebbe diversa da \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}} \), perché \( \displaystyle \sigma \) lascia fissa soltanto \( \displaystyle {\left({i}\right)} \) e poiché \( \displaystyle {A}_{{4}} \) è non commutativo in generale, non si avrebbe \( \displaystyle {g{\sigma}}=\sigma{g} \).
Ma non so se è corretta questa mia dimostrazione.

Mi sono imbattuto in questo esercizio invece, che mi faceva piacere condividere.
Sia \( \displaystyle {G} \) un gruppo finito, \( \displaystyle {N} \) un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \) tale che \( \displaystyle {\left|{N}\right|} \) e \( \displaystyle {\left({G}:{N}\right)} \) siano coprimi. Provare che per ogni \( \displaystyle \xi{n}{G} \) tale che \( \displaystyle {{x}}^{{\left|{N}\right|}}={1} \), risulta \( \displaystyle \xi{n}{N} \).

Avevo pensato che il teorema di corrispondenza mi sarebbe tornato utile assieme al secondo (o terzo dipende dal nome) teorema di isomorfismo, ma non saprei. Anche qui, suggerimenti?

[Martino]

\( \displaystyle {g{\in}}{Z}{\left({A}_{{4}}\right)} \). Allora \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}}={g{{\left(\sigma{\left({i}\right)}\right)}}}=\sigma{\left({g{{\left({i}\right)}}}\right)} \) Ora se \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}} \) fosse diversa da \( \displaystyle {i} \), allora \( \displaystyle \sigma{\left({g{{\left({i}\right)}}}\right)} \) sarebbe diversa da \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}} \), perché \( \displaystyle \sigma \) lascia fissa soltanto \( \displaystyle {\left({i}\right)} \) e poiché \( \displaystyle {A}_{{4}} \) è non commutativo in generale, non si avrebbe \( \displaystyle {g{\sigma}}=\sigma{g} \).

Ti stai un po' complicando la vita
Siccome \( \displaystyle \sigma \) fissa solo \( \displaystyle {i} \) (l'abbiamo scelto così), dall'uguaglianza \( \displaystyle \sigma{\left({g{{\left({i}\right)}}}\right)}={g{{\left({i}\right)}}} \) deduci \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}}={i} \). Questo vale per ogni \( \displaystyle {i} \), quindi \( \displaystyle {g{=}}{1} \). Fine

Sia \( \displaystyle {G} \) un gruppo finito, \( \displaystyle {N} \) un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \) tale che \( \displaystyle {\left|{N}\right|} \) e \( \displaystyle {\left({G}:{N}\right)} \) siano coprimi. Provare che per ogni \( \displaystyle {x}\in{G} \) tale che \( \displaystyle {{x}}^{{\left|{N}\right|}}={1} \), risulta \( \displaystyle {x}\in{N} \).

Considera la classe di \( \displaystyle {x} \) nel quoziente \( \displaystyle {G}\//{N} \).

[mistake89]

Mmm, quanto al primo effettivamente hai ragione
Ma le mie considerazioni sono sbagliate, anche se superflue?

Quanto al secondo, ci penserò oggi!

[Martino]

Arrivi a un punto in cui dici:

\( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}}={g{{\left(\sigma{\left({i}\right)}\right)}}}=\sigma{\left({g{{\left({i}\right)}}}\right)} \)

e

\( \displaystyle \sigma{\left({g{{\left({i}\right)}}}\right)} \) sarebbe diversa da \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}} \)

Questi due fatti sono in evidente contraddizione. Dovresti quindi dedurre immediatamente che \( \displaystyle {g{{\left({i}\right)}}}={i} \).

[mistake89]

Ho provato a fare l'esercizio considerando nel quoziente \( \displaystyle {G} \)\( \displaystyle /{N} \) la classe di \( \displaystyle {x} \), ma ugualmente non riesco a concludere che \( \displaystyle {x}{N}={N} \). Non riesco in realtà a sfruttare l'ipotesi che \( \displaystyle {{x}}^{{n}}={1} \).

ho provato anche (magari facendo una boiata!) a considerare \( \displaystyle \lt{x}\gt \)\( \displaystyle ={N} \) (dato che hanno lo stesso ordine e sono entrambi contenuti in \( \displaystyle {G} \)), ma oltre a sembrarmi un 'idea un pò campata in aria non sono riuscito nemmeno a svilupparlo.

Buio totale.

[Martino]

ho provato anche (magari facendo una boiata!) a considerare \( \displaystyle \lt{x}\gt={N} \) (dato che hanno lo stesso ordine e sono entrambi contenuti in \( \displaystyle {G} \))

Non hanno lo stesso ordine, il fatto che \( \displaystyle {{x}}^{{{\left|{N}\right|}}}={1} \) ti dice solo che l'ordine di \( \displaystyle {x} \) divide \( \displaystyle {\left|{N}\right|} \).

Il fatto è questo: la classe \( \displaystyle {x}{N} \) è un elemento del gruppo \( \displaystyle {G}\//{N} \), sia \( \displaystyle {m} \) il suo ordine. Osserva che \( \displaystyle {m} \) deve dividere \( \displaystyle {\left|{G}:{N}\right|}={\left|{G}\//{N}\right|} \). Nel gruppo \( \displaystyle {G}\//{N} \) si ha \( \displaystyle {{\left({x}{N}\right)}}^{{{\left|{N}\right|}}}={{x}}^{{{\left|{N}\right|}}}{N}={1}{N}={N} \), quindi \( \displaystyle {m} \) deve dividere \( \displaystyle {\left|{N}\right|} \). Ma allora \( \displaystyle {m} \) divide sia \( \displaystyle {\left|{N}\right|} \) che \( \displaystyle {\left|{G}:{N}\right|} \), quindi \( \displaystyle {m}={1} \) (per ipotesi \( \displaystyle {\left|{N}\right|} \) e \( \displaystyle {\left|{G}:{N}\right|} \) sono coprimi). In altre parole \( \displaystyle {x}{N}={N} \), cioè \( \displaystyle {x}\in{N} \).

[mistake89]

Già, che errore stupido. Grazie ancora Martino.
Francamente non penso ci sarei mai arrivato

Volevo solo chiederti delle delucidazioni su alcune cose:
\( \displaystyle {m} \) deve dividere l'indice, ciò discende dal Teorema di Lagrange, secondo cui il periodo di un qualsiasi elemento del gruppo è un divisore dell'ordine del gruppo?
\( \displaystyle {{N}}^{{{\left|{N}\right|}}} \) vuol dire che ogni elemento viene calcolata la potenza \( \displaystyle {\left|{N}\right|} \)

Grazie ancora!

[Martino]

\( \displaystyle {m} \) deve dividere l'indice, ciò discende dal Teorema di Lagrange, secondo cui il periodo di un qualsiasi elemento del gruppo è un divisore dell'ordine del gruppo?

Sì.

\( \displaystyle {{N}}^{{{\left|{N}\right|}}} \) vuol dire che ogni elemento viene calcolata la potenza \( \displaystyle {\left|{N}\right|} \)

No. Nel gruppo \( \displaystyle {G}\//{N} \) l'operazione è definita come segue: \( \displaystyle {\left({a}{N}\right)}{\left({b}{N}\right)}={\left({a}{b}\right)}{N} \). In particolare \( \displaystyle {{\left({a}{N}\right)}}^{{m}}={{a}}^{{m}}{N} \).

[mistake89]

Hai ragione Martino, come sempre

Grazie ancora per la disponibilità!