Scusate se ancora rompo ma volevo capirci bene...

Se ho $G=H_1xH_2$ prodotto diretto interno, con $H_(1,2)$ sottogruppi di $G$, si ha che $G//H_1$ è isomorfo ad $H_2$.

Sfruttando il teorema fondamentale di omomorfismo si tratta di costruire un omomorfismo $phi$ la cui immagine si $H_2$ e il $kerphi=H_1$
Potrebbe essere banalmente $phi(x,y)->y$?. Di essere un isomorfismo mi pare evidente, e che il $ker$ sia $H_1$ mi pare anche corretto! Mi sbaglio?
Se è corretto mi chiedo quale sia il quoziente $G//H_1$, sarà formato dalle classi laterali di $H_1$, cioè da $(x,y)H_1$? ma non credo che tale prodotto sia definito!

Dire che $H_1 le H_1 xx H_2$ è improprio. Quando pensi a $H_1$ come sottogruppo di $H_1 xx H_2$ devi identificarlo a $H_1 xx {1}$. I laterali di $H_1 xx {1}$ sono $(H_1 xx {1})(x,y) = H_1x xx {y}$.


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Io non voglio più sprecare una parola.

Capito! Quindi la mappa che avevo introdotto andava bene?!

Certo.


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Grazie mille Martino.
Ho provato a svolgere questo esercizio, vediamo se la soluzione è corretta:

Sia $N$ normale in $G$, tale che l'indice di $N$ in $G$ sia $n$. Mostrare che $g^ninN$ $AAginG$

L'idea è analoga a quella dell'esercizio precedente.
Cioè considero il laterale di $g$, cioè $gN$. Sarà un elemento ovviamente di $G//N$. Il mio intento è provare che $g^nN=N$.
considero allora $(gN)^n=g^nN$. Ma sappiamo per il th. di Lagrange che l'ordine di ogni sottogruppo (in questo caso quello generato da $gN$) di $G/N$ deve dividere $o(G//N)$ che in questo caso è $n$, quindi $g^nN=N$.
E' corretta?



L'ultima modifica di mistake89 il 17/03/2010, 15:56, modificato 1 volta

mistake89 ha scritto:

sappiamo per il th. di Lagrange che l'ordine di ogni sottogruppo (in questo caso quello generato da $gN$) di $G$ deve dividere $o(G)$ che in questo caso è $n$, quindi $g^nN=N$.

C'è un po' di confusione. Non capisco perché parli del sottogruppo di $G$ generato da $gN$.

Il punto è che l'elemento $gN$ del gruppo $G//N$ deve verificare $(gN)^{|G//N|}=1_{G//N}=N$, è un fatto generale (se un gruppo $H$ ha ordine $n$ e $h in H$ allora $h^n=1$: facile applicazione del teorema di Lagrange, penso che tu la conosca).


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Sì, scusami. Era $G//N$ lì, edito subito!

Era esattamente quella la mia idea. Considero in $G//N$ che so avere ordine $n$, il sottogruppo generato da $gN$. Per il teorema di Lagrange, tale sottogruppo avrà un ordine che divide $n$, allora $(gN)^n=g^nN=N$, per la caratterizzazione del periodo. Quindi essendo $g^nN=N$ deduco che $g^ninN$

mistake89 ha scritto:

Considero in $G//N$ che so avere ordine $n$, il sottogruppo generato da $gN$. Per il teorema di Lagrange, tale sottogruppo avrà un ordine che divide $n$, allora $(gN)^n=g^nN=N$, per la caratterizzazione del periodo. Quindi essendo $g^nN=N$ deduco che $g^ninN$

Ah ok, il sottogruppo di $G//N$ generato da $gN$. Certo.


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Si, scusami è stata una svista.
Grazie mille Martino!

Volevo una delucidazione riguardo i quozienti tra gruppi infiniti, che ancora mi fanno venire qualche dubbio.
Posto un esempio. Sia $G=(RR^2,+)$ e sia $H={(x,5x)|x$$inRR}$. Studiare $G//H$

$RR^2$ è ovviamente infinito, così come $H$. $G//H$, cioè l'insieme dei laterali della forma $(a,b)+H=(a+x,b+5x)$ è infinito. In questo caso come vengono identificati gli elementi di $G$? Cioè nel quoziente sono congrui quegli elementi che differiscono per $(x,5x)$ tra loro. E' corretto?

Grazie ancora!