Normalità e quozienti

[mistake89]

Scusate se ancora rompo ma volevo capirci bene...

Se ho \( \displaystyle {G}={H}_{{1}}{x}{H}_{{2}} \) prodotto diretto interno, con \( \displaystyle {H}_{{{1},{2}}} \) sottogruppi di \( \displaystyle {G} \), si ha che \( \displaystyle {G}\//{H}_{{1}} \) è isomorfo ad \( \displaystyle {H}_{{2}} \).

Sfruttando il teorema fondamentale di omomorfismo si tratta di costruire un omomorfismo \( \displaystyle \phi \) la cui immagine si \( \displaystyle {H}_{{2}} \) e il \( \displaystyle {k}{e}{r}\phi={H}_{{1}} \)
Potrebbe essere banalmente \( \displaystyle \phi{\left({x},{y}\right)}\to{y} \)?. Di essere un isomorfismo mi pare evidente, e che il \( \displaystyle {k}{e}{r} \) sia \( \displaystyle {H}_{{1}} \) mi pare anche corretto! Mi sbaglio?
Se è corretto mi chiedo quale sia il quoziente \( \displaystyle {G}\//{H}_{{1}} \), sarà formato dalle classi laterali di \( \displaystyle {H}_{{1}} \), cioè da \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)}{H}_{{1}} \)? ma non credo che tale prodotto sia definito!

[Martino]

Dire che \( \displaystyle {H}_{{1}}\le{H}_{{1}}\times{H}_{{2}} \) è improprio. Quando pensi a \( \displaystyle {H}_{{1}} \) come sottogruppo di \( \displaystyle {H}_{{1}}\times{H}_{{2}} \) devi identificarlo a \( \displaystyle {H}_{{1}}\times{\left\lbrace{1}\right\rbrace} \). I laterali di \( \displaystyle {H}_{{1}}\times{\left\lbrace{1}\right\rbrace} \) sono \( \displaystyle {\left({H}_{{1}}\times{\left\lbrace{1}\right\rbrace}\right)}{\left({x},{y}\right)}={H}_{{1}}{x}\times{\left\lbrace{y}\right\rbrace} \).

[mistake89]

Capito! Quindi la mappa che avevo introdotto andava bene?!

[Martino]

Certo.

[mistake89]

Grazie mille Martino.
Ho provato a svolgere questo esercizio, vediamo se la soluzione è corretta:

Sia \( \displaystyle {N} \) normale in \( \displaystyle {G} \), tale che l'indice di \( \displaystyle {N} \) in \( \displaystyle {G} \) sia \( \displaystyle {n} \). Mostrare che \( \displaystyle {{g}}^{{n}}\in{N} \) \( \displaystyle \forall{g{\in}}{G} \)

L'idea è analoga a quella dell'esercizio precedente.
Cioè considero il laterale di \( \displaystyle {g} \), cioè \( \displaystyle {g{{N}}} \). Sarà un elemento ovviamente di \( \displaystyle {G}\//{N} \). Il mio intento è provare che \( \displaystyle {{g}}^{{n}}{N}={N} \).
considero allora \( \displaystyle {{\left({g{{N}}}\right)}}^{{n}}={{g}}^{{n}}{N} \). Ma sappiamo per il th. di Lagrange che l'ordine di ogni sottogruppo (in questo caso quello generato da \( \displaystyle {g{{N}}} \)) di \( \displaystyle \frac{{G}}{{N}} \) deve dividere \( \displaystyle {o}{\left({G}\//{N}\right)} \) che in questo caso è \( \displaystyle {n} \), quindi \( \displaystyle {{g}}^{{n}}{N}={N} \).
E' corretta?

[Martino]

sappiamo per il th. di Lagrange che l'ordine di ogni sottogruppo (in questo caso quello generato da \( \displaystyle {g{{N}}} \)) di \( \displaystyle {G} \) deve dividere \( \displaystyle {o}{\left({G}\right)} \) che in questo caso è \( \displaystyle {n} \), quindi \( \displaystyle {{g}}^{{n}}{N}={N} \).

C'è un po' di confusione. Non capisco perché parli del sottogruppo di \( \displaystyle {G} \) generato da \( \displaystyle {g{{N}}} \).

Il punto è che l'elemento \( \displaystyle {g{{N}}} \) del gruppo \( \displaystyle {G}\//{N} \) deve verificare \( \displaystyle {{\left({g{{N}}}\right)}}^{{{\left|{G}\//{N}\right|}}}={1}_{{{G}\//{N}}}={N} \), è un fatto generale (se un gruppo \( \displaystyle {H} \) ha ordine \( \displaystyle {n} \) e \( \displaystyle {h}\in{H} \) allora \( \displaystyle {{h}}^{{n}}={1} \): facile applicazione del teorema di Lagrange, penso che tu la conosca).

[mistake89]

Sì, scusami. Era \( \displaystyle {G}\//{N} \) lì, edito subito!

Era esattamente quella la mia idea. Considero in \( \displaystyle {G}\//{N} \) che so avere ordine \( \displaystyle {n} \), il sottogruppo generato da \( \displaystyle {g{{N}}} \). Per il teorema di Lagrange, tale sottogruppo avrà un ordine che divide \( \displaystyle {n} \), allora \( \displaystyle {{\left({g{{N}}}\right)}}^{{n}}={{g}}^{{n}}{N}={N} \), per la caratterizzazione del periodo. Quindi essendo \( \displaystyle {{g}}^{{n}}{N}={N} \) deduco che \( \displaystyle {{g}}^{{n}}\in{N} \)

[Martino]

Considero in \( \displaystyle {G}\//{N} \) che so avere ordine \( \displaystyle {n} \), il sottogruppo generato da \( \displaystyle {g{{N}}} \). Per il teorema di Lagrange, tale sottogruppo avrà un ordine che divide \( \displaystyle {n} \), allora \( \displaystyle {{\left({g{{N}}}\right)}}^{{n}}={{g}}^{{n}}{N}={N} \), per la caratterizzazione del periodo. Quindi essendo \( \displaystyle {{g}}^{{n}}{N}={N} \) deduco che \( \displaystyle {{g}}^{{n}}\in{N} \)

Ah ok, il sottogruppo di \( \displaystyle {G}\//{N} \) generato da \( \displaystyle {g{{N}}} \). Certo.

[mistake89]

Si, scusami è stata una svista.
Grazie mille Martino!

[mistake89]

Volevo una delucidazione riguardo i quozienti tra gruppi infiniti, che ancora mi fanno venire qualche dubbio.
Posto un esempio. Sia \( \displaystyle {G}={\left({\mathbb{R}}^{{2}},+\right)} \) e sia \( \displaystyle {H}={\left\lbrace{\left({x},{5}{x}\right)}{\mid}{x}\right.} \)\( \displaystyle \in\mathbb{R}\rbrace \). Studiare \( \displaystyle {G}\//{H} \)

\( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) è ovviamente infinito, così come \( \displaystyle {H} \). \( \displaystyle {G}\//{H} \), cioè l'insieme dei laterali della forma \( \displaystyle {\left({a},{b}\right)}+{H}={\left({a}+{x},{b}+{5}{x}\right)} \) è infinito. In questo caso come vengono identificati gli elementi di \( \displaystyle {G} \)? Cioè nel quoziente sono congrui quegli elementi che differiscono per \( \displaystyle {\left({x},{5}{x}\right)} \) tra loro. E' corretto?

Grazie ancora!