Normalità e quozienti

[Martino]

In casi come questo ti conviene considerare un omomorfismo suriettivo da \( \displaystyle {G} \) a qualche gruppo candidato \( \displaystyle {L} \) il cui nucleo sia \( \displaystyle {H} \), e applicare il primo teorema di isomorfismo. In questo caso puoi prendere \( \displaystyle {G}\to\mathbb{R} \), \( \displaystyle {\left({x},{y}\right)}\to{y}-{5}{x} \).

Vedi anche qui.

[mistake89]

Sì, ci avevo pensato. Classico è il caso delle matrici invertibile e del suo sottogruppo speciale.
In questo caso però non mi era venuto

Grazie!

[mistake89]

Nella dimostrazione che il centro di gruppo di ordine \( \displaystyle {{p}}^{{3}} \) ha ordine \( \displaystyle {p} \) ho trovato questo passaggio:

\( \displaystyle {G}\//{Z}{\left({G}\right)} \) è ciclico allora \( \displaystyle {G} \) è abeliano!

Credo che sia una cosa generale, cioè se il sottogruppo normale è diverso dal centro vero?
non sono riuscito a trovare ancora una dimostrazione rigorosa. Ma se ho che \( \displaystyle {g{{N}}} \) è un generatore del quoziente allora in particolare le potenze di \( \displaystyle {g} \) commuteranno tra loro. Basta questo per provare che \( \displaystyle {G} \) è effettivamente abeliano?

Grazie

[Martino]

Ma se ho che \( \displaystyle {g{{N}}} \) è un generatore del quoziente allora in particolare le potenze di \( \displaystyle {g} \) commuteranno tra loro. Basta questo per provare che \( \displaystyle {G} \) è effettivamente abeliano?

Così non hai ancora concluso.

Il fatto che \( \displaystyle {g{{Z}}}{\left({G}\right)} \) genera \( \displaystyle {G}\//{Z}{\left({G}\right)} \) significa che ogni elemento di \( \displaystyle {G} \) si scrive come \( \displaystyle {{g}}^{{n}}{z} \) con \( \displaystyle {z}\in{Z}{\left({G}\right)} \), quindi dati due elementi \( \displaystyle {{g}}^{{n}}{z}_{{1}},{{g}}^{{m}}{z}_{{2}} \) di \( \displaystyle {G} \), quello che devi dimostrare è che \( \displaystyle {\left({{g}}^{{n}}{z}_{{1}}\right)}{\left({{g}}^{{m}}{z}_{{2}}\right)}={\left({{g}}^{{m}}{z}_{{2}}\right)}{\left({{g}}^{{n}}{z}_{{1}}\right)} \).

[mistake89]

Allora, se io ho \( \displaystyle {\left({{g}}^{{n}}{z}_{{1}}\right)}{\left({{g}}^{{m}}{z}_{{2}}\right)}={{g}}^{{n}}{z}_{{1}}{{g}}^{{m}}{z}_{{2}} \), poichè \( \displaystyle {z}_{{1}}\in{Z}{\left({G}\right)} \) commuterà con tutti gli elementi quindi si ha \( \displaystyle {{g}}^{{n}}{{g}}^{{m}}{z}_{{1}}{z}_{{2}} \). Le potenze commutano quindi posso scrivere \( \displaystyle {{g}}^{{m}}{{g}}^{{n}}{z}_{{1}}{z}_{{2}} \), poichè anche \( \displaystyle {z}_{{2}}\in{Z}{\left({G}\right)} \) allora posso scrivere \( \displaystyle {{g}}^{{m}}{z}_{{2}}{{g}}^{{n}}{z}_{{1}} \) e quindi ricomporre in \( \displaystyle {\left({{g}}^{{m}}{z}_{{2}}\right)}{\left({{g}}^{{n}}{z}_{{1}}\right)} \)

Può andare?
Grazie mille

[Martino]

Certo.

[mistake89]

Allora, poichè mi pare che la nozione di centro sia fondamentale nella dimostrazione, non si può estendere ad un qualsiasi quoziente come avevo precedentemente detto.

[Martino]

Allora, poichè mi pare che la nozione di centro sia fondamentale nella dimostrazione, non si può estendere ad un qualsiasi quoziente come avevo precedentemente detto.

Certo che no (scusa non avevo capito che stavi cercando di generalizzare). Per esempio il quoziente \( \displaystyle S_n/A_n \) è ciclico (di ordine 2).