Normalità e quozienti

[mistake89]

Volevo sottoporvi due semplici esercizi poichè mi piacerebbe sapere se effettivamente sono stati risolti correttamente:
Determinare l'unico gruppo normale \( \displaystyle {H} \) non banale di \( \displaystyle {S}_{{3}} \) e studiare \( \displaystyle \frac{{S}_{{3}}}{{H}} \)
Allora per prima cosa \( \displaystyle {H} \) è un sottogruppo e per il teorema di Lagrange sappiamo che l'ordine di \( \displaystyle {H} \) divide \( \displaystyle {6} \) quindi esso o è \( \displaystyle {2} \) o \( \displaystyle {3} \).
Sappiamo inoltre che esso è normale se è unione di classi di coniugio. Quindi determino la cardinalità di ogni classe esse sono in numero \( \displaystyle {\left(-\right)}={1} \) \( \displaystyle {\left(-,-\right)}={3} \) e \( \displaystyle {\left(-.-.-\right)}={2} \).
Quindi l'unico sottogruppo \( \displaystyle {H} \) è formato da \( \displaystyle {\left\lbrace{i}{d},{\left({1},{2},{3}\right)},{\left({1},{3},{2}\right)}\right\rbrace} \)
Studio il quoziente \( \displaystyle \frac{{G}}{{H}} \) esso è formato dalle classi laterali quindi sarà formato da \( \displaystyle {\left\lbrace{H},{\left({1},{2}\right)}{H}\right\rbrace} \). E' quindi il gruppo ciclico di ordine \( \displaystyle {2} \)

Determinare tutti i sottogruppi normali di \( \displaystyle {S}_{{4}} \). Stesso ragionamento di prima, il periodo di \( \displaystyle {H} \) deve essere compreso tra i divisori di \( \displaystyle {24} \). Analizzando la struttura ciclica, o equivalentemente le classi di coniugio, deduco che esistono solo due sottogruppi normali in \( \displaystyle {S}_{{4}} \) non banali cioè \( \displaystyle {H}_{{1}} \) formato dall'identità e dai \( \displaystyle {\left({2},{2}\right)} \)-cicli e \( \displaystyle {H}_{{2}} \) formato dall'identità, dai \( \displaystyle {\left({2},{2}\right)} \)cicli e dai \( \displaystyle {3} \)-cicli

Ho preso un abbaglio, oppure i ragionamenti non sono corretti?
Grazie mille e scusate ancora per la banalità della domanda!

[mistake89]

Proprio nessuno riesce a confermare o smentire?

[Martino]

Ciao!

Quello che dici è corretto, ma non è chiaro se il ragionamento che fai per arrivarci sia corretto. Ricorda che un'unione di classi di coniugio non è automaticamente un sottogruppo. In particolare nel caso di \( \displaystyle {S}_{{4}} \), mi piacerebbe che tu facessi una vera dimostrazione con un po' di dettagli. Se vuoi naturalmente.

[mistake89]

Sì, è vero che l'unione arbitraria di classi di coniugio non è automaticamente un sottogruppo, ma se esse son complete e l'ordine divide l'ordine di \( \displaystyle {G} \) allora lo è, giusto?
Se io ho \( \displaystyle {S}_{{4}} \) so che i sottogruppi possono avere periodo \( \displaystyle {2},{3},{4},{6},{8},{12} \).
Con la formula \( \displaystyle \frac{{1}}{{r}}\frac{{{n}!}}{{{n}-{r}}}! \) calcolo la cardinalità di ogni classe di coniugio. Affinche il mio sottoinsieme \( \displaystyle {H} \) sia un sottogruppo deve contenere l'identità ed in più l'unione delle classi (complete) di coniugio deve soddisfare l'ordine precendemente indicato. Quindi gli unici casi possibili sono quelli espressi nel primo post?
Applicativamente ho considerato i vari periodi e sommandoli (includendo sempre l'identità) ho verificato che \( \displaystyle {o}{\left({H}\right)} \) dividesse \( \displaystyle {o}{\left({S}_{{4}}\right)} \)

Bastano queste osservazioni, oppure devo calcolarli esplicitamente e verificare di ognuno degli insiemi che trovo che siano sottogruppi?

Grazie

[Martino]

Sì, è vero che l'unione arbitraria di classi di coniugio non è automaticamente un sottogruppo, ma se esse son complete e l'ordine divide l'ordine di \( \displaystyle {G} \) allora lo è, giusto?

No. Supponi per esempio che \( \displaystyle {G} \) sia abeliano. In questo caso le classi di coniugio hanno un solo elemento, quindi ogni sottoinsieme di \( \displaystyle {G} \) è unione di classi di coniugio. D'altra parte non basta che un sottoinsieme di \( \displaystyle {G} \) abbia come cardinalità un divisore di \( \displaystyle {\left|{G}\right|} \) perché esso sia un sottogruppo.

Quindi non basta trovare le "candidate" unioni di classi di coniugio, bisogna anche mostrare che sono sottogruppi. Oppure, meglio, vedere quei due candidati sottogruppi normali che hai trovato in un modo che renda chiaro il fatto che sono sottogruppi: il primo è l'intersezione dei 2-Sylow, il secondo è il gruppo alterno (quello che consiste delle permutazioni pari). Se non conosci la teoria di Sylow non c'è problema: verificare che quel sottoinsieme di 4 elementi è un sottogruppo si può fare anche a mano. Ma il gruppo alterno è meglio che tu lo conosca, è una nozione abbastanza basilare.

[mistake89]

Grazie Martino.
Il gruppo alterno lo conosco, so che è normale in \( \displaystyle {S}_{{n}} \), volevo però arrivarvi in maniera generale, mentre la teoria di Sylow ancora non la conosco.

Quindi dopo la prima "scrematura" che è quella che ho fatto io, devo verificare che l'insieme trovato è effettivamente un gruppo (oppure ricondurmi a qualche gruppo noto). L'ho fatto sul mio \( \displaystyle {H}_{{1}} \) ed effettivamente è un sottogruppo.
Ma, scusa la domanda franca, nel caso io abbia \( \displaystyle {S}_{{8}} \), e dovessi trovare i sottogruppi normali, devo di ogni candidata andarmi a trovare la tavola di composizione e controllare che esistano gli inversi? Diventa effettivamente un lavoro dispendioso (se come me non si conosce ancora molto altro!)

[Martino]

nel caso io abbia \( \displaystyle {S}_{{8}} \), e dovessi trovare i sottogruppi normali, devo di ogni candidata andarmi a trovare la tavola di composizione e controllare che esistano gli inversi? Diventa effettivamente un lavoro dispendioso (se come me non si conosce ancora molto altro!)

Esatto. Infatti non te lo daranno mai da fare come esercizio.

O meglio, non prima di averti detto che il gruppo alterno \( \displaystyle {A}_{{n}} \) è semplice per ogni \( \displaystyle {n}\ge{5} \). Ora che lo sai non dovrebbe risultarti difficile dimostrare che se \( \displaystyle {n}\ge{5} \) il solo sottogruppo normale non banale di \( \displaystyle {S}_{{n}} \) è \( \displaystyle {A}_{{n}} \). Si tratta di prendere \( \displaystyle {N} \) normale in \( \displaystyle {S}_{{n}} \) e intersecarlo con \( \displaystyle {A}_{{n}} \). Siccome \( \displaystyle {N}\cap{A}_{{n}} \) è normale in \( \displaystyle {A}_{{n}} \), se \( \displaystyle {N}\ne{A}_{{n}} \) allora \( \displaystyle {N}\cap{A}_{{n}}={\left\lbrace{1}\right\rbrace} \). E non ci sono molti sottogruppi di \( \displaystyle {S}_{{n}} \) in cui l'unico elemento pari è l'identità...

[mistake89]

Ho capito! Ti ringrazio moltissimo per le delucidazioni, mi hai dato una grossa mano.

Ricordo che tempo addietro ci fu un bellissimo post sui sottogruppi normali, devo cercarlo meglio, perchè ora mi potrebbe aiutare molto risolvere gli esercizi che proponesti, per prendere un pò la mano!

Grazie ancora Martino.

[Martino]

Ho capito! Ti ringrazio moltissimo per le delucidazioni, mi hai dato una grossa mano.

Prego!

Ricordo che tempo addietro ci fu un bellissimo post sui sottogruppi normali, devo cercarlo meglio, perchè ora mi potrebbe aiutare molto risolvere gli esercizi che proponesti, per prendere un pò la mano!

Dovrebbe essere questo oppure questo.

[mistake89]

Ricordavo molto bene il primo.
Stavo provando tra l'altro a fare l'esercizio circa la normalità del gruppo \( \displaystyle {S}{L}{\left({n},{K}\right)} \) (le matrici con determinante uguale a \( \displaystyle {1} \)) in \( \displaystyle {G}{L}{\left({n},{K}\right)} \). Ho visto la risoluzione che dà Paolo, molto elegante, ma io i teoremi di omomorfismo non li ho ancora studiati (anche se in geometria li ho sommariamente studiati), e non riuscivo a dimostrarlo per altre vie! Esiste un altro modo? Forse dimostrando che \( \displaystyle {S}{L}{\left({n},{K}\right)} \) è normale in \( \displaystyle {G}{L}{\left({n},{K}\right)} \)\( \displaystyle \Leftrightarrow{A}{S}{L}{\left({n},{K}\right)}{{A}}^{{-{1}}}\subset{S}{L}{\left({n},{K}\right)} \) con \( \displaystyle {A}\in{G}{L}{\left({n},{K}\right)} \)? O sono fuori strada?

Grazie mille Martino!