Nuclei di morfismi di prefasci

da **killing_buddha** » 24/01/2010, 19:42

Prendiamo due prefasci in Gruppi. Come mostrare che il nucleo $ \displaystyle \mathcal K $ di un morfismo di prefasci $ \displaystyle f: \mathcal F\to \mathcal G $ ha effettivamente la proprieta' universale del nucleo?

Sono le prime volte che armeggio con questi oggetti, e ogni tanto qualche dimostrazione standard salta. In particolare qualche fonte inverte i lati dell'implicazione, dicendo che siccome $ \displaystyle \mathcal K $ e' il ker di $ \displaystyle f $ , allora ha la proprieta' universale dei ker, non che siccome ha la proprieta' universale dei ker allora e' il nucleo... che fare?

da **Martino** » 24/01/2010, 20:05

Fisso un po' di definizioni/notazioni.

Un prefascio in gruppi $ \displaystyle \mathcal F $ sullo spazio topologico $ \displaystyle {X} $ non è altro che un funtore $ \displaystyle {\tau_X}^{op} \to \mbox{Gruppi} $ , dove $ \displaystyle \tau_X $ (la topologia di X) è la categoria i cui oggetti sono gli aperti di X e se U,V sono due aperti di X esiste un unico morfismo $ \displaystyle {U}\to{V} $ se e solo se $ \displaystyle {U}\subseteq{V} $.

Un morfismo $ \displaystyle f:\mathcal{F} \to \mathcal{G} $ di prefasci su X non è altro che una trasformazione naturale dei relativi funtori.

Il candidato nucleo di $ \displaystyle {f} $ è il prefascio su X che manda $ \displaystyle U $ in $ \displaystyle \ker(f_U) $ .

Se espliciti la proprietà universale ti risulta che essa segue direttamente dalla proprietà universale del nucleo nella categoria $ \displaystyle \mbox{Gruppi} $ .

da **killing_buddha** » 24/01/2010, 20:33

Quindi, visto che per ogni aperto $ \displaystyle U $ vale che

ogni morfismo $ \displaystyle g(U) $ che $ \displaystyle f(U)\circ g(U)=0(U) $ si fattorizza via il nucleo (che in ogni "componente" del prefascio nucleo e' un gruppo con relativo monomorfismo in $ \displaystyle \mathcal F(U) $ ) nel modo che segue
$\xymatrix{ \mathcal K(U)\ar[dr]^{i(U)} & & \\ & \mathcal F(U) \ar[r]^{f(U)}& \mathcal G(U)\\ H(U) \ar[ur]_{g(U)}\ar@{.>}[uu]^{\gamma(U)}& & }$

posso dedurre che la proprieta' "passa" al morfismo di prefasci tutto intero?

da **Martino** » 24/01/2010, 20:36

Certo. Ma lo puoi dimostrare, non è difficile.

Nuclei di morfismi di prefasci

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