Nuclei di morfismi di prefasci

Messaggioda killing_buddha » 24/01/2010, 19:42

Prendiamo due prefasci in Gruppi. Come mostrare che il nucleo \( \displaystyle \mathcal K \) di un morfismo di prefasci \( \displaystyle f: \mathcal F\to \mathcal G \) ha effettivamente la proprieta' universale del nucleo?

Sono le prime volte che armeggio con questi oggetti, e ogni tanto qualche dimostrazione standard salta. In particolare qualche fonte inverte i lati dell'implicazione, dicendo che siccome \( \displaystyle \mathcal K \) e' il ker di \( \displaystyle f \) , allora ha la proprieta' universale dei ker, non che siccome ha la proprieta' universale dei ker allora e' il nucleo... che fare?
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Messaggioda Martino » 24/01/2010, 20:05

Fisso un po' di definizioni/notazioni.

Un prefascio in gruppi \( \displaystyle \mathcal F \) sullo spazio topologico $X$ non è altro che un funtore \( \displaystyle {\tau_X}^{op} \to \mbox{Gruppi} \) , dove \( \displaystyle \tau_X \) (la topologia di X) è la categoria i cui oggetti sono gli aperti di X e se U,V sono due aperti di X esiste un unico morfismo $U to V$ se e solo se $U \subseteq V$.

Un morfismo \( \displaystyle f:\mathcal{F} \to \mathcal{G} \) di prefasci su X non è altro che una trasformazione naturale dei relativi funtori.

Il candidato nucleo di $f$ è il prefascio su X che manda \( \displaystyle U \) in \( \displaystyle \ker(f_U) \) .

Se espliciti la proprietà universale ti risulta che essa segue direttamente dalla proprietà universale del nucleo nella categoria \( \displaystyle \mbox{Gruppi} \) .
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Messaggioda killing_buddha » 24/01/2010, 20:33

Quindi, visto che per ogni aperto \( \displaystyle U \) vale che

ogni morfismo \( \displaystyle g(U) \) che \( \displaystyle f(U)\circ g(U)=0(U) \) si fattorizza via il nucleo (che in ogni "componente" del prefascio nucleo e' un gruppo con relativo monomorfismo in \( \displaystyle \mathcal F(U) \) ) nel modo che segue
\xymatrix{
\mathcal K(U)\ar[dr]^{i(U)} & & \\
   & \mathcal F(U) \ar[r]^{f(U)}& \mathcal G(U)\\
H(U) \ar[ur]_{g(U)}\ar@{.>}[uu]^{\gamma(U)}& &
}


posso dedurre che la proprieta' "passa" al morfismo di prefasci tutto intero?
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Messaggioda Martino » 24/01/2010, 20:36

Certo. Ma lo puoi dimostrare, non è difficile.
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