Nucleo e Immagine di f??

[#Alex91#]

Allora...sono giorni che sto cercando di capire una parte di questo esercizio sulle applicazioni lineari.
Sia \( \displaystyle {f} \) l'app. li. così definita:

\( \displaystyle {f{{\left({x},{y},{x}\right)}}}={\left({x}-{y}+{3}{z},{2}{x}-{z},{x}+{y}-{4}{z},{3}{x}-{y}+{2}{z}\right)} \)

determinare:

a) una matrice associata a \( \displaystyle {f} \), rispetto alle basi canoniche;
b) equazioni cartesiane, una base e la dimensione del \( \displaystyle {K}{e}{r}{f} \);
c) equazioni parametriche di \( \displaystyle {I}{m}{f} \) , una base e la dimensione di \( \displaystyle {I}{m}{f} \);
d) se \( \displaystyle {f} \) è iniettiva e /o suriettiva


io proseguo in questo modo.

a) trovo la matrice associata rispetto alle basi canoniche:

\( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&-{1}&{3}\\{2}&{0}&-{1}\\{1}&{1}&-{4}\\{3}&-{1}&{2}}\right)} \)

(semplicemente essendo il caso in cui le basi sono quelle canoniche le righe della matrice a sono i coefficienti degli elementi di \( \displaystyle {f} \) nella sua definizione).

b) per trovare il nucleo di \( \displaystyle {f} \) devo trovare tutti i vettori che mediante \( \displaystyle {f} \) si trasformano nel vettore nullo \( \displaystyle {0}_{{v}} \).
quindi risolvo questo sistema lineare omogeneo la cui matrice associata è proprio \( \displaystyle {A} \):

\( \displaystyle {S}={\left\lbrace\matrix{{x}-{y}+{3}{z}={0}\\{2}{x}-{z}={0}\\{x}+{y}-{4}{z}={0}\\{3}{x}-{y}+{2}={0}}\right.} \)

Il rango di \( \displaystyle \rho{\left({A}\right)} \) è \( \displaystyle {2} \), di conseguenza il sistema ammette infinite soluzioni \( \displaystyle {\infty}^{{1}} \) soluzioni
e una variabile libera dipenderà da un parametro reale \( \displaystyle {\left(\alpha\right)}\in\mathbb{R} \)

\( \displaystyle {S}={\left\lbrace\matrix{{x}=\frac{{1}}{{2}}\alpha\\{y}=\frac{{7}}{{2}}\alpha\\{z}=\alpha}\right.} \)

la dimensione \( \displaystyle \dim{\left({K}{e}{r}{f}\right)} \) è per definizione uguale alla dimensione del sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo \( \displaystyle {S} \) dunque \( \displaystyle \dim{\left({K}{e}{r}{f}\right)}={1} \)

il generico elemento di \( \displaystyle {K}{e}{r}{f} \) sarà \( \displaystyle {\left(\frac{{1}}{{2}}\alpha,\frac{{7}}{{2}}\alpha,\alpha\right)} \)

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il problema è come determino una base di \( \displaystyle {K}{e}{r}{f} \)?
e poi cosa si intende per equazioni cartesiane del nucleo?
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c) per trovare la dimensione dell' \( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)} \) so che
\( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)}=\rho{\left({a}\right)} \) quindi \( \displaystyle \dim{\left({I}{m}{\left({f}\right)}\right)}={2} \)

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come scrivo una base di \( \displaystyle {I}{m}{f} \)?
e poi cosa si intende per equazioni parametriche di \( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)} \)?
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d) Infine per determinare se \( \displaystyle {f} \) è iniettiva
controllo se il nucleo contiene il solo vettore nullo in questo caso \( \displaystyle {S} \) ammette infinite soluzioni
dunque f non è iniettiva, ma non è neanche suriettiva perche \( \displaystyle \dim{\left({I}{m}{\left({f}\right)}\right)}\ne\dim{\left({{R}}^{{4}}\right)} \) e qui ho dei dubbi.....

vi chiedo gentilmente se potreste spiegarmi dove sbaglio, se procedo correttamente dei calcoli
e come trovare le basi e le equazioni parametriche e cartesiane di \( \displaystyle {I}{m}{\left({f}\right)} \) e \( \displaystyle {K}{e}{r}{\left({f}\right)} \).....Grazie

[prime_number]

Non ho tempo di controllare i tuoi conti, quindi li prendo per buoni.
La base del \( \displaystyle {K}{e}{r}{f} \) sarà \( \displaystyle {\left({1},{7},{2}\right)} \) (basta estrarre il parametro \( \displaystyle \alpha \). Ho anche moltiplicato il vettore che ottenevo per \( \displaystyle {2} \) per averlo più bello). Per ottenere le eq. cartesiane devi eliminare il parametro \( \displaystyle \alpha \) nelle eq. di \( \displaystyle {S} \) (è facile visto che \( \displaystyle {z}=\alpha \)!).
Per \( \displaystyle {I}{m}{f} \): le colonne della matrice sono suoi generatori. Prendi quelli linearmente indipendenti aiutandoti con il calcolo del rango della matrice. Le eq. parametriche sono come quelle sopra di \( \displaystyle {S} \) che hai scritto, ovvero ci sono \( \displaystyle {k} \) parametri liberi, dove \( \displaystyle {k} \) è la dimensione dello spazio. Trovi la definizione di eq. cartesiane e parametriche in qualunque libro di Geometria.
L'applicazione come hai visto non è iniettiva. Non può essere suriettiva perché matrice \( \displaystyle {A} \) può avere al massimo rango \( \displaystyle {3}\lt\dim{\left({{\mathbb{{{R}}}}}^{{4}}\right)} \).

Paola