Numeri armonici

[carlo23]

Il numero armonico \( \displaystyle {n} \)-esimo è definito come

\( \displaystyle {H}_{{n}}={1}+\frac{{1}}{{2}}+\frac{{1}}{{3}}+\frac{{1}}{{4}}+\ldots+\frac{{1}}{{n}} \)

dimostrare che per \( \displaystyle {n}\gt{1} \) allora \( \displaystyle {H}_{{n}} \) non è mai un numero intero.

Ciao!

[carlo23]

Io ho trovato questa breve dimostrazione che utilizza il teorema di Chebychev, per \( \displaystyle {n}\gt{4} \) esiste un numero primo \( \displaystyle {p} \) tale che \( \displaystyle \frac{{n}}{{2}}\lt{p}\lt{n} \). Ora considerando che

\( \displaystyle {H}_{{n}}={1}+\frac{{1}}{{2}}+\frac{{1}}{{3}}+\ldots+\frac{{1}}{{n}}=\frac{{\frac{{{n}!}}{{1}}+\frac{{{n}!}}{{2}}+\frac{{{n}!}}{{3}}\ldots+\frac{{{n}!}}{{n}}}}{{{n}!}} \)

perchè il secondo membro sia intero deve essere che

\( \displaystyle \frac{{{n}!}}{{1}}+\frac{{{n}!}}{{2}}+\frac{{{n}!}}{{3}}\ldots+\frac{{{n}!}}{{n}}\equiv{0}\text{mod}{n}! \)

quindi

\( \displaystyle \frac{{{n}!}}{{1}}+\frac{{{n}!}}{{2}}+\frac{{{n}!}}{{3}}\ldots+\frac{{{n}!}}{{n}}\equiv{0}\text{mod}{p} \)

ora a causa della scelta di \( \displaystyle {p} \) risulta che tra \( \displaystyle {1} \) e \( \displaystyle {n} \) solo un numero è divisibile per \( \displaystyle {p} \), \( \displaystyle {p} \) stesso. Allora
\( \displaystyle \frac{{{n}!}}{{m}}\equiv{0}\text{mod}{p} \) se \( \displaystyle {m}\ne{p} \) quindi

\( \displaystyle \frac{{{n}!}}{{p}}\equiv{0}\text{mod}{p} \)

ma ciò è impossibile essendo \( \displaystyle {p} \) primo.

Qualcuno conosce dimostrazioni che non usino il teorema di Chebychev?

[HiTToLo]

By way of contradiction, esista un intero \( \displaystyle {n}\gt{3} \) tale che \( \displaystyle {H}_{{n}} \) sia esso stesso intero. Allora \( \displaystyle {0}\le{v}_{{2}}{\left({H}_{{n}}\right)}={v}_{{2}}{\left({\sum_{{{k}={1}}}^{{n}}}{\frac{{{n}!}}{{{k}}}}\right)}-{v}_{{2}}{\left({n}!\right)} \), ove \( \displaystyle {v}_{{2}}{\left(\cdot\right)} \) indica una valutazione 2-adica. Eppure \( \displaystyle {\sum_{{{k}={1}}}^{{n}}}{\frac{{{n}!}}{{{k}}}}\equiv{1}{b}\text{mod}{2} \), e perciò \( \displaystyle {0}\le{v}_{{2}}{\left({H}_{{n}}\right)}=-{v}_{{2}}{\left({n}!\right)}\lt{0} \), assurdo! A questo punto, i casi "superstiti" si testano "a mano"...