Numeri complessi, mi aiutate?

[Algalord]

devo ancora installare mathml per scrivere gli esercizi qua, lo farò fra un po'. qualcuno ntanto uò aiutarmi sui numeri complessi?Vi scrivo qualche esercizio

Z= radice di 3 - i/ 1-i

calcolarne il coefficente reale
calcolarne l'argomento principale

2)Z= 1 + radice di 3 per i/1 +i

calcolarne coefficente reale, immaginario e modulo

3) risolvere l'equazione algebrica

Z(al quadrato) + 2iz+ 3=0 Z appartiene a C


4) Z al quadrato -(1+i)z +1=0 Z appartiene a C

5) Z al quadrato +(i per radice di 3 +1)z -1=0

grazie

[*pizzaf40]

Non sto a risolverti tutto ovviamente, ma lo scopo è quello di eliminare il denominatore moltiplicando sopra e sotto, così da eliminare la \( \displaystyle {i} \) al denominatore.

1)

\( \displaystyle {z}=\frac{{{1}+{i}\sqrt{{3}}}}{{{1}-{i}}}=\frac{{{1}+{i}\sqrt{{3}}}}{{{1}-{i}}}\cdot{\left(\frac{{{1}+{i}}}{{{1}+{i}}}\right)}=\frac{{{\left({1}+{i}\sqrt{{3}}\right)}\cdot{\left({1}+{i}\right)}}}{{{{1}}^{{2}}-{{i}}^{{2}}-{i}+{i}}}=\frac{{{\left({1}+{i}\sqrt{{3}}\right)}\cdot{\left({1}+{i}\right)}}}{{{1}-{\left(-{1}\right)}}}=\frac{{{\left({1}+{i}\sqrt{{3}}\right)}\cdot{\left({1}+{i}\right)}}}{{2}} \)

ovviamente ricordati sempre che \( \displaystyle {{i}}^{{2}}={i}\cdot{i}=\sqrt{{-{1}}}\cdot\sqrt{{-{1}}}=-{1} \)
Quindi, sviluppando semplicemente i calcoli:

\( \displaystyle {z}=\frac{{{{1}}^{{2}}+{i}+{i}\sqrt{{3}}+{{i}}^{{2}}\sqrt{{3}}}}{{2}}=\frac{{{1}+{i}{\left({1}+\sqrt{{3}}\right)}-\sqrt{{3}}}}{{2}}=\frac{{{1}-\sqrt{{3}}}}{{2}}+{i}\cdot{\left(\frac{{{1}+\sqrt{{3}}}}{{2}}\right)}={R}{e}+{i}{\left({I}{m}\right)} \)

\( \displaystyle {R}{e} \)=coeff. reale
\( \displaystyle {I}{m} \)=coeff. immaginario
\( \displaystyle {M}=\sqrt{{{{\left({R}{e}\right)}}^{{2}}+{{\left({I}{m}\right)}}^{{2}}}} \)=modulo
\( \displaystyle \phi={a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{{I}{m}}}{{{R}{e}}}\right)}}} \)=fase(che è un angolo)

Visto che mi sembri agli inizi, la parte reale si chiama così perchè è un numero reale, la parte immaginaria si chiama così xkè \( \displaystyle {i}=\sqrt{{-{1}}} \) è radice di un numero negativo (che nei numeri reali non esiste, dunque immaginaria).
Inoltre immagina il piano cartisiano \( \displaystyle {x}{y} \)...se l'asse \( \displaystyle {x} \) la chiami asse \( \displaystyle {R}{e} \) (mettendoci il valore della parte reale) e al posto dell'asse \( \displaystyle {y} \) metti l'asse \( \displaystyle {I}{m} \) (con il valore del coeff. immaginario) ottieni un punto di coordinate\( \displaystyle {\left({R}{e},{I}{m}\right)} \).
Ora collega questo punto al centro, cioè a \( \displaystyle {\left({0},{0}\right)} \)...non potrai fare a meno di notare che \( \displaystyle {M} \) è la lunghezza della linea che unisce i due punti (col teorema di Pitagora) e \( \displaystyle \phi \) è l'angolo tra la linea stessa e l'asse delle \( \displaystyle {x} \) (o \( \displaystyle {R}{e} \))
Se il riconoscimento di \( \displaystyle \phi \) ti dovesse venire un po' meno intuitivo, basta che la pensi così (fatti anche un disegno che è più facile da seguire):

\( \displaystyle {M}\cdot{\cos{\phi}}={R}{e} \)
\( \displaystyle {M}\cdot{s}{e}{n}\phi={I}{m} \)

\( \displaystyle \frac{{{M}\cdot{s}{e}{n}\phi}}{{{M}\cdot{\cos{\phi}}}}=\frac{{{s}{e}{n}\phi}}{{\cos{\phi}}}={t}{g{\phi}}={t}{g{\phi}}=\frac{{{I}{m}}}{{{R}{e}}} \) =======> \( \displaystyle \phi={a}{r}{c}{t}{g{{\left(\frac{{{I}{m}}}{{{R}{e}}}\right)}}} \)

Se hai \( \displaystyle {{z}}^{{2}} \), basta che lo risolvi come una parabola normale, e quindi ti trovi l'espressione di \( \displaystyle {Z}{\mathcal{{1}}}{\mathcal{{2}}} \)

\( \displaystyle \frac{{-{b}\pm\sqrt{{{{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}}}}}{{{2}{a}}} \)

poi fai come prima per eliminare il denominatore...cmq, visto che al denominatore c'è \( \displaystyle {2}{a} \), e negli esercizi dati \( \displaystyle {a} \) è sempre reale non avrai questo problema. Il problema nascerà nel momento in cui hai la \( \displaystyle {i} \) sotto radice. Quella a me verrebbe in mente di risolverla così:

\( \displaystyle \sqrt{{{{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}}}=\sqrt{{{A}-{i}\cdot{B}}} \) <=====dopo aver dovutamente sviluppato i calcoli

\( \displaystyle {{\left({C}+{i}{D}\right)}}^{{2}}={\left({C}+{i}{D}\right)}\cdot{\left({C}+{i}{D}\right)}={{C}}^{{2}}-{{D}}^{{2}}+{i}{2}{D}={\left({{C}}^{{2}}-{{D}}^{{2}}\right)}+{i}{\left({2}{D}\right)} \)

Se imponi \( \displaystyle {\left({A}-{i}\cdot{B}\right)}={{\left({C}+{i}{D}\right)}}^{{2}} \), dovrà essere pure \( \displaystyle \sqrt{{{A}-{i}\cdot{B}}}={\left({C}+{i}{D}\right)} \). Dunque se trovi \( \displaystyle {C} \) e \( \displaystyle {D} \) il problema della radice è risolto:

\( \displaystyle {\left({A}-{i}\cdot{B}\right)}={\left({{C}}^{{2}}-{{D}}^{{2}}\right)}+{i}{\left({2}{D}\right)} \)
-------------------
\( \displaystyle {A}={{C}}^{{2}}-{{D}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {B}={2}{D} \)
-------------------
\( \displaystyle {A}={{C}}^{{2}}-\frac{{{{B}}^{{2}}}}{{4}} \)
\( \displaystyle {D}=\frac{{B}}{{2}} \)
-------------------
\( \displaystyle {C}=\sqrt{{{A}-\frac{{{{B}}^{{2}}}}{{4}}}} \)
\( \displaystyle {D}=\frac{{B}}{{2}} \)

Nota che \( \displaystyle {B} \) è immaginario, \( \displaystyle {{B}}^{{2}} \) è reale, e \( \displaystyle {C} \) risulta di conseguenza reale come deve essere (e \( \displaystyle {D} \) immaginario)!!!!!!!!!!!!!!!!

...e quindi hai trasformato l'espressione sotto radice in qualcosa che ti permette di sommarlo a \( \displaystyle -{b} \)



Che fatica Ciao!!