numeri complessi....

[WiZaRd]

Fai la moltiplicazione tra un elemento di \( \displaystyle \mathbb{R}^{2} \) ed \( \displaystyle (1;0) \) nel modo in cui la moltiplicazione è stata definita e vedi che ne viene fuori.

[domy90]

un elemento qualsiasi va bene? tipo a caso: \( \displaystyle {\left({5};{4}\right)} \)?

[WiZaRd]

Certo. Puoi farla anche con \( \displaystyle (a;b) \) , se vuoi prendere una coppia generica; se vuoi fare una prova più "concreta" va bene una qualunque coppia di numeri.

[domy90]

ho provato ad eseguire la moltiplicazione e ho avuto: \( \displaystyle {\left({1};{0}\right)}\cdot{\left({5};{4}\right)}={\left({5}-{0};{4}+{0}\right)} \)
ho provato anche con l'addizione: \( \displaystyle {\left({0};{0}\right)}+{\left({5};{4}\right)}={\left({0}+{5};{0}+{4}\right)} \)
in realtà sia l'elemento neutro della moltiplicazione che dell'addizione individuano un vettore... forse sbaglio io qualcosa...?

[domy90]

cioè se riporto sul grafico la moltiplicazione e ho:

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poi per l'addizione:

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individuano entrambi lo stesso vettore, allora come mai dice che sono gli elementi neutri?

[WiZaRd]

Come fanno ad uscirti quei risultati?

\( \displaystyle (5;4)+(1;0)=(5+1;4+0)=(6;4)\neq(5;4) \)
\( \displaystyle (5;4)\cdot(1;0)=(5\cdot1-4\cdot0;5\cdot0+4\cdot1)=(5-0;0+4)=(5;4) \)

[domy90]

Come fanno ad uscirti quei risultati?
\( \displaystyle (5;4)+(1;0)=(5+1;4+0)=(6;4)\neq(5;4) \)

hai sbagliato il calcolo, quello che ho fatto io è per \( \displaystyle {\left({0};{0}\right)} \) tu hai fatto per \( \displaystyle {\left({1};{0}\right)} \)...
cioè volevo dimostrare perchè \( \displaystyle {\left({0};{0}\right)} \) è l'elemento neutro di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) rispetto all'addizione, idem per la moltiplicazione però con \( \displaystyle {\left({1};{0}\right)} \), visto che sarebbe l'elemento neutro della moltiplicazione... però il risultato mi da un vettore cioè un numero complesso, quindi mi viene spontaneo chiedere per elemento neutro cosa s'intende? io pensavo che andando a svolgere le varie operazioni non si poteva ottenere un numero complesso, e quindi di conseguenza non si poteva disegnare sul piano di Gauss....

[WiZaRd]

Scusami: ero convinto che stessi usando \( \displaystyle (1;0) \) sia per la moltiplicazione sia per l'addizione.

Non capisco però i tuoi dubbi: l'addizione tra numeri complessi deve dare un numero complesso, così come la moltiplicazione tra numeri complessi deve dare un numero complesso. In particolare gli elementi neutri devono restituirti, ciascuno nell'operazione per cui è elemento neutro, il numero complesso con cui vanno ad operare.

[domy90]

ah ok adesso ho capito...
ci sono tante cose che non ho capito dei numeri complessi, ad esempio:
mi parla della forma trigonometrica, e dice fissato un sistema di assi cartesiani il numero complesso individua un punto \( \displaystyle {P} \) e che la distanza di \( \displaystyle {P} \) dall'origine si chiama modulo del numero complesso indicato con \( \displaystyle \rho \). Poi dice: "in generale, \( \displaystyle {\left|{z}-\omega\right|} \) è la distanza tra i punti del piano (rappresentati da) \( \displaystyle {z} \) e \( \displaystyle \omega \). Risulta: \( \displaystyle \rho=\sqrt{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}}}=\sqrt{{{z}\cdot{\overline{{z}}}}} \)."
Non ho capito questo \( \displaystyle {\left|{z}-\omega\right|} \), \( \displaystyle {z} \) è il numero complesso, e \( \displaystyle \omega \)? non me lo dice....

[WiZaRd]

Anche \( \displaystyle \omega \) è un numero complesso.