numeri complessi....

[domy90]

cioè mi stà dicendo il valore assoluto di un numero complesso \( \displaystyle {z} \) meno un'altro numero complesso \( \displaystyle \omega \), rappresenta la distanza tra \( \displaystyle {z} \) e \( \displaystyle \omega \) cioè quanto dista l'uno dall'altro?

[WiZaRd]

In un certo senso, sì (potremmo, volendo forse essere più precisi, dire che indica quanto distano nel piano di Gauss i punti che in esso rappresentano i due numeri complessi, però dato che i numeri complessi sono di fatto definiti come elementi di \( \displaystyle \mathbb{R}^{2} \) non c'è bisogno di sottilizzare). Però attenzione che quel \( \displaystyle \rho=\sqrt{\cdots} \) riportato dopo è riferito al solo \( \displaystyle z \) .

[domy90]

ma quanto distano dall'origine o quanto distano l'uno dall'altro?

[WiZaRd]

Quanto distano uno dall'altro, ma se uno dei due è l'origine allora quanto dista quello diverso dall'origine dall'origine.

Insomma, se io ho \( \displaystyle z,t \in \mathbb{C} \) allora posso scrivere \( \displaystyle z=a+ib \) e \( \displaystyle t=a_{1}+ib_{1} \) ove \( \displaystyle i \) è l'unità immaginaria. Allora \( \displaystyle z-t=a+ib-(a_{1}+ib_{1})=(a-a_{1})+i(b-b_{1}) \) , sicché, posto \( \displaystyle h=z-t \) si ha \( \displaystyle \lvert h \rvert=\sqrt{(a-a_{1})^2+(b-b_{1})^{2}} \) , concordemente con la definizione data per \( \displaystyle \rho \) . Ma se nel piano di Gauss rappresento \( \displaystyle z \) e \( \displaystyle t \) , \( \displaystyle z \) è rappresentato dal punto \( \displaystyle (a;b) \) e \( \displaystyle t \) dal punto \( \displaystyle (a_{1};b_{1}) \) , sicché, con un poco di geometria analitica, la distanza tra detti punti (o, se vogliamo, la misura del segmento che li congiunge) è \( \displaystyle \sqrt{(a-a_{1})^{2}+(b-b_{1})^{2}} \) , concordemente con quanto determinato per mezzo della formula del \( \displaystyle \rho \) .

[domy90]

ah ho capito quindi \( \displaystyle \rho \) non è altro che il \( \displaystyle {\left|{z}-\omega\right|} \) che dalla geometria analitica rappresenta la distanza tra due punti....
poi un'altro dubbio so che l'angolo \( \displaystyle \theta \) è argomento, il libro dice risulta definito a meno di \( \displaystyle {2}\pi \), ora a \( \displaystyle {0} \) non forma nessun angolo e \( \displaystyle {2}\pi \) nemmeno e allora perchè dice a meno di \( \displaystyle {2}\pi \) senza specificare che anche lo zero deve essere escluso? lo ritiene sottinteso oppure mi sbaglio io?

[WiZaRd]

\( \displaystyle \rho \) è il modulo di \( \displaystyle x \in \mathbb{C} \) , anche se non esprimi \( \displaystyle x \) come \( \displaystyle z-t \) . Il modulo del numero complesso \( \displaystyle z-t \) esprime quella che nel piano cartesiano è la distanza tra i punti che rappresentano \( \displaystyle z \) e \( \displaystyle t \) .

Per l'argomento: onestamente non ti ho capito. Dici che a \( \displaystyle 0 \) non si forma nessun angolo, ma \( \displaystyle 0 \) è l'angolo nullo, così come a \( \displaystyle 2\pi \) l'angolo c'è ed è l'angolo giro. Stai dando le misure degli angoli, come fai a dire di non averli?

[domy90]

cioè voglio dire degli archi...o sbaglio?

[WiZaRd]

Ma ad ogni angolo è associato un* agolo: basta tracciare arbitrariamente una circonferenza ed ottieni l'arco sotteso su cui insiste l'angolo...
Continuo a non capirti.


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* Veramente è associato più di un agolo potendosi tracciare più di una circonferenza.

[domy90]

cioè il libro dice: l'angolo \( \displaystyle \theta \) viene detto argomento di \( \displaystyle {z} \) e risulta definito a meno di \( \displaystyle {2}\pi \), cioè se \( \displaystyle \theta \) è argomento di \( \displaystyle {z} \), anche \( \displaystyle \theta+{2}{k}\pi \) è argomento di \( \displaystyle {z} \)...
non ho capito questo fatto di \( \displaystyle {2}\pi \) cioè se io dico che esiste a meno di \( \displaystyle {2}\pi \) voglio dire che a \( \displaystyle {2}\pi \) non esiste perchè c'è questo "a meno"....

[WiZaRd]

Dato il numero complesso \( \displaystyle z=a+ib \) , l'argomento \( \displaystyle \theta \) si ottiene a partire dall'arcotangente del rapporto tra \( \displaystyle a \) e \( \displaystyle b \) e la sua importanza risiede nel fatto che \( \displaystyle z \) potrà essere espresso come \( \displaystyle \rho(\cos\theta+\sin\theta) \) .
Se hai già affrontato la goniometria saprai che le funzioni coseno e seno sono periodiche, di periodo \( \displaystyle 2\pi \) e dire, in questo ambito, a meno di \( \displaystyle 2\pi \) significa dire che le funzioni \( \displaystyle \cos(\cdot) \) e \( \displaystyle \sin(\cdot) \) riprendono lo stesso valore quando all'angolo scelto si somma l'angolo giro. Inoltre, si usa dire che un angolo è individuato a meno di dell'angolo giro anche nella geometria analitica e nella geometria sintetica quando si introducono gli angoli orientati: dato un agolo del piano cartesiano o del piano senza assi, si può pensare di ruotare come le lancette dell'orologio uno dei suoi lati tenendo fermo l'altro; dopo un giro (o dopo suoi multipli interi) l'angolo che ottieni (intendo quello geometrico, quello visibile, quello "disegnato") è sempre quello.

In altri termini e detto "terra terra", dire a "meno di..." significa dire che se metti o togli l'angolo che ottieni, per quello che ti serve, sempre quello è (è ovvio che, però, tecnicamente, un agolo di \( \displaystyle 370° \) non è un angolo di \( \displaystyle 70° \) ).