numeri complessi....

[domy90]

ah ok ok capito!!!
mentre poi per la forma esponenziale io ho: \( \displaystyle \rho{{e}}^{{{i}\theta}} \), da questa non capisco da dove ne esce il numero di Nepero...???

[WiZaRd]

In che senso non capisci da dove ne esce il numero di Nepero?

[domy90]

cioè \( \displaystyle \rho \) è il modulo de numero complesso, \( \displaystyle {i} \) è l'unita immaginaria, \( \displaystyle \theta \) è l'argomento del numero complesso e \( \displaystyle {e} \) è il numero di Nepero, ma perchè c'è questo numero?

[domy90]

Adesso ho capito in pratica non riuscivo a capire cosa c'entrava il numero di Nepero con i numeri complessi, guardando meglio ho capito che:
poiché il campo dei numeri complessi è l'estensione dei numeri reali, visto che li contiene, quindi è possibile estendere ai numeri complessi la funzione esponenziale, sostituendo alla \( \displaystyle {x} \) di \( \displaystyle {{e}}^{{x}} \) il numero complesso \( \displaystyle {z} \)...
\( \displaystyle {{e}}^{{z}}={{e}}^{{{a}+{i}{b}}}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{s}{a}{p}{e}{n}{d}{o}{c}{h}{e} \)(a + ib)=rho costheta+i rho sintheta rArr z=rhoe^(itheta)$...???? o sbaglio?

[WiZaRd]

Ha a che fare con l'esponenziale complesso, ma non in un modo così diretto: click.
A che punto sei con gli studi? Se sei all'ultimo anno di liceo e sei particolarmente curioso, ti consiglio di iniziare la lettura di un testo di Analisi accademico: scoprirai così i numeri complessi nel modo opportuno.

P.S.
Qualcosa di leggero, alla buona, terra terra.

[domy90]

cioè si, i miei passaggi sono molto azzardati però in linea di massima se so tutto il resto posso fare così?
ehmmmmm.....sono al primo anno di università....ho un testo accademico ma non è spiegato bene non lo capisco molto devo dire.....
Ps:il link è in inglese e per mia sfortuna non l'ho fatto....scusa...

[WiZaRd]

Sarà l'ora ma non vedo come sia possibile passare da questo

\( \displaystyle e^{z}=e^{a+ib}=e^{\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta))} \)

a questo

\( \displaystyle z=\pho e^{i\theta} \) .

Leggi il .pdf che ho linkato nel P.S.
Che facoltà fai e che testo usi?

P.S.
Ma se studi all'Università, perché posti in questa sezione? Non che ti voglia cacciare da qui, sia ben chiaro, è che se postavi in Analisi magari ti rispondevano gugo o dissonance o FP o lussardi, insomma avresti avuto risposte migliori.

[domy90]

non capisco dove sbaglio...

Che facoltà fai e che testo usi?

Ingegneria elettronica e il testo di analisi è: verso l'esame di matematica 1...

P.S.
Ma se studi all'Università, perché posti in questa sezione? Non che ti voglia cacciare da qui, sia ben chiaro, è che se postavi in Analisi magari ti rispondevano gugo o dissonance o FP o lussardi, insomma avresti avuto risposte migliori.

Perchè pensavo che visto che nel libro questi passaggi non sono stati messi è perchè si doveva sapere dalle scuole superiori...

[WiZaRd]

Per arrivare a scrivere \( \displaystyle z=\rho \cdot e^{i\theta} \) partendo da \( \displaystyle z=a+ib=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta)) \) devi giustificare semplicemente questa uguaglianza: \( \displaystyle e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) \) .

Muovendo da \( \displaystyle e^{z}=e^{a+ib}=e^{\rho(\cod(\theta)+i\sin(\theta))} \) come fai ad abbassare la \( \displaystyle z \) , ad abbassare \( \displaystyle \rho \) , a mantenere la \( \displaystyle e \) e a far scomparire le funzioni goniometriche semplicemente dicendo che \( \displaystyle a+ib=\rho(\cos(\theta)+i\sin(\theta) \) ?

L'uguaglianza da giustificare si chiama formula di Eulero. Dei tentativi di dimostrazione sono forniti nel .pdf e sul sito che ti ho linkato.
Dai anche una lettura qui: non si dimostra la formula, ma si spiega cosa si potrebbe usare per provarla (nella parte finale).

[domy90]

dal tuo ultimo PDF ho capito che:
-1). \( \displaystyle {{e}}^{{{i}\pi}}=-{1}+{i}\cdot{0} \) e quindi che è uguale a \( \displaystyle {{i}}^{{2}} \) cioe: \( \displaystyle {{i}}^{{2}}={\left({0},{1}\right)}\cdot{\left({0},{1}\right)}={\left(-{1},{0}\right)} \) che è come \( \displaystyle -{1} \) e quindi \( \displaystyle {{e}}^{{{i}\pi}}={{i}}^{{2}} \) oppure ho detto una fesseria????

-2). e che:
\( \displaystyle {{e}}^{{x}}={1}+\frac{{x}}{{{1}!}}+\frac{{{x}}^{{2}}}{{{2}!}}+\frac{{{x}}^{{3}}}{{{3}!}}+\frac{{{x}}^{{4}}}{{{4}!}}+\frac{{{x}}^{{5}}}{{{5}!}}+\frac{{{x}}^{{6}}}{{{6}!}}+\frac{{{x}}^{{7}}}{{{7}!}}\ldots.. \)

\( \displaystyle {s}{e}{n}{x}=\frac{{x}}{{{1}!}}-\frac{{{x}}^{{3}}}{{{3}!}}+\frac{{{x}}^{{5}}}{{{5}!}}-\frac{{{x}}^{{7}}}{{{7}!}}\ldots. \)

\( \displaystyle {\cos{{x}}}={1}-\frac{{{x}}^{{2}}}{{{2}!}}+\frac{{{x}}^{{4}}}{{{4}!}}-\frac{{{x}}^{{6}}}{{{6}!}}\ldots.. \)

e quindi in un certo senso \( \displaystyle {{e}}^{{x}} \) contiene seno e coseno....o no???