numeri complessi....

[domy90]

ma perchè poi esce \( \displaystyle {i}{n}\theta={2}{k}\pi{i} \) cioè perchè compare \( \displaystyle {i} \) al secondo membro?

[WiZaRd]

Beh, assodato che \( \displaystyle n\theta=2k\pi \) , basta moltiplicare per \( \displaystyle i \) : non vedo in questa \( \displaystyle i \) il problema.

[domy90]

pensavo che deriva dal fatto \( \displaystyle {1}={\rho}^{{{n}-{2}}}{{e}}^{{{i}{n}\theta}} \) e quindi non capivo come faceva ad uscire la \( \displaystyle {i} \).....ora ho capito come esce ma perchè ci deve essere? cioè perchè serve specificarlo? non poso dire direttamente scelgo \( \displaystyle {n}\theta \) pari a \( \displaystyle {2}{k}\pi \)?

[WiZaRd]

Io direi di sì.

[domy90]

perchè pensandoci non ha senso, cioè prima moltiplico e dopo mi dice che \( \displaystyle \theta=\frac{{{2}{k}\pi}}{{n}} \) è un operazione in più...

[domy90]

ma come mai poi continua dicendo che \( \displaystyle {k}={1},\ldots,{n}-{1} \)?

[WiZaRd]

perchè pensandoci non ha senso, cioè prima moltiplico e dopo mi dice che \( \displaystyle \theta=\frac{{{2}{k}\pi}}{{n}} \) è un operazione in più...

Lo ha fatto per far capire quanto vale \( \displaystyle \theta \) , penso.

ma come mai poi continua dicendo che \( \displaystyle {k}={1},\ldots,{n}-{1} \)?

Questo, onestamente, non l'ho capito nemmeno io: forse, anzi sicuramente, c'è qualcosa che mi sfugge. Aspettiamo e vediamo se qualcuno ce lo spiega.

[domy90]

e allora il bello viene nella soluzione vera e propria dove

\( \displaystyle {z}_{{k}}={{e}}^{{{i}\frac{{{2}{k}}}{\pi}{k}}},{k}={1},\ldots,{n}-{1} \) qua proprio non ho capito cos'ha fatto.....

[domy90]

ho capito il perchè, praticamente centra il fatto che in campo complesso io nn ho soltanto due soluzioni come in campo reale, quindi se ad esempio \( \displaystyle {\sqrt[{{7}}]{{{\left(\sqrt{{3}}+{i}\right)}}}} \) le soluzioni sono \( \displaystyle {Z}_{{0}} \), \( \displaystyle {Z}_{{1}} \), \( \displaystyle {Z}_{{2}} \), \( \displaystyle {Z}_{{3}} \) e così via fino a \( \displaystyle {Z}_{{7}} \)... cioè significa fare: \( \displaystyle {\sqrt[{{n}}]{{{w}}}} \) \( \displaystyle \rightarrow \) \( \displaystyle {{Z}}^{{n}}={w} \) con \( \displaystyle {w}={\left[\rho,\theta\right]} \) e quindi:

\( \displaystyle {\sqrt[{{n}}]{{{w}}}}={\sqrt[{{n}}]{{{\left|{w}\right|}}}}\cdot{\left({\cos{{\left(\frac{{\theta+{2}{k}\pi}}{{n}}\right)}}}+{i}{\sin{{\left(\frac{{\theta+{2}{k}\pi}}{{n}}\right)}}}\right)} \) con \( \displaystyle {k}={0},{1},\ldots,{n}-{1} \)