numeri complessi....

[domy90]

ho bisogno di un chiarimento per quanto riguarda ciò che vuole dire il libro su di essi...
il libro mi da come definizione: si definisce campo dei numeri complessi, e viene incicato con \( \displaystyle \mathbb{C} \), l'insieme \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}}=\mathbb{R}\cdot\mathbb{R} \) in cui definiamo due operazioni interne dette somma e prodotto, come segue

\( \displaystyle {\left({a},{b}\right)}+{\left({c},{d}\right)}={\left({a}+{c},{b}+{d}\right)} \),
\( \displaystyle {\left({a},{b}\right)}\cdot{\left({c},{d}\right)}={\left({a}{c}-{b}{d},{a}{d}+{b}{c}\right)} \).

Che vuol dire?

[Delirium]

Suppongo che si riferisca a questo: dati due numeri complessi \( \displaystyle {z}_{{1}}={a}+{i}{b} \) e \( \displaystyle {z}_{{2}}={c}+{i}{d} \), la loro somma \( \displaystyle {z}_{{1}}+{z}_{{2}} \) è uguale a \( \displaystyle {a}+{c}+{i}{\left({b}+{d}\right)} \) mentre il loro prodotto \( \displaystyle {z}_{{1}}\cdot{z}_{{2}} \) è pari a \( \displaystyle {\left({a}+{i}{b}\right)}\cdot{\left({c}+{i}{d}\right)}={a}{c}+{i}{a}{d}+{i}{b}{c}+{{i}}^{{2}}{b}{d}={a}{c}-{b}{d}+{i}{\left({a}{d}+{b}{c}\right)} \).
La dicitura del tuo libro si riferisce probabilmente alla rappresentazione cartesiana dei numeri complessi, e ne usa perciò la notazione.

[WiZaRd]

Quella data da Delirium è la forma algebrica delle operazioni di somma e prodotto in \( \displaystyle \mathbb{C} \) e per poterla dare, partendo dalla definizione di \( \displaystyle \mathbb{C} \) come prodotto cartesiano di \( \displaystyle \mathbb{R} \) per se stesso, occorre prima speigare, nella definizione proposta del campo complesso, chi è \( \displaystyle i \) e come si ottiene la forma algebrica di un numero complesso.

[domy90]

il libro non dice a chi si riferisce.
io una cosa che non ho capito è il fatto che \( \displaystyle \mathbb{C} \) è il prodotto cartesiano di \( \displaystyle \mathbb{R} \) per se stesso....in che senso?

[Delirium]

Quella data da Delirium è la forma algebrica delle operazioni di somma e prodotto in \( \displaystyle \mathbb{C} \) e per poterla dare, partendo dalla definizione di \( \displaystyle \mathbb{C} \) come prodotto cartesiano di \( \displaystyle \mathbb{R} \) per se stesso, occorre prima speigare, nella definizione proposta del campo complesso, chi è \( \displaystyle i \) e come si ottiene la forma algebrica di un numero complesso.

Nel mio libro la definizione di unità immaginaria viene data a posteriori, dopo aver definito il prodotto. Infatti reca:

La definizione data di prodotto è tale che, indicato con \( \displaystyle {i} \) il numero \( \displaystyle {0}+{1}{i} \), risulta: \( \displaystyle {i}\cdot{i}={\left({0}+{1}{i}\right)}\cdot{\left({0}+{1}{i}\right)}=-{1}+{0}{i}=-{1} \)
Pertanto, in base alla definizione di prodotto data, si avrà: \( \displaystyle {{i}}^{{2}}=-{1} \)

[domy90]

ma perchè \( \displaystyle \mathbb{C} \) è dato dall'insieme \( \displaystyle \mathbb{R}\cdot\mathbb{R} \) c'è una spiegazione semplice?

[Delirium]

Perché i numeri complessi sono rappresentabili come vettori nello spazio vettoriale \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \)

[domy90]

per spazio vettoriale \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) intendi il piano cartesiano?

[@melia]

In pratica sì, anche se quando si indica con Re l'asse delle x e con Im quella delle y e si mette sulle x la parte reale del numero complesso e sull'asse y il coefficiente della parte immaginaria, il piano non si chiama cartesiano, ma di Argand - Gauss. Inoltre le coordinare non individuano il singolo punto, ma il vettore che congiunge l'origine con il punto.

[domy90]

ok capito, poi dice che \( \displaystyle {\left({0},{0}\right)} \) è l'elemento neutro di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) rispetto all'addizione; mentre \( \displaystyle {\left({1},{0}\right)} \) è l'elemento neutro di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{2}} \) rispetto alla moltiplicazione....
per l'addizione ho capito che esso non individua nessun vettrore però non ho capito perchè per la moltiplicazione \( \displaystyle {\left({1},{0}\right)} \) è l'elemento neutro...