Numeri divisibili per 14 - SNS 1974 (Conferma soluzione)

[elios]

"Dati tre numeri interi \( \displaystyle {a} \),\( \displaystyle {b} \),\( \displaystyle {c} \) aventi massimo comun divisore 1, verificare che i numeri della forma \( \displaystyle {a}{{m}}^{{2}}+{b}{m}+{c} \) con \( \displaystyle {m} \) intero qualunque, non possono essere tutti divisibili per \( \displaystyle {14} \). Generalizzare il risultato."

Questo è il mio procedimento:
Inizio a vedere se, al variare di \( \displaystyle {m} \), il polinomio si mantiene sempre pari oppure no. Nel caso in cui io trovassi casi per cui il polinomio non è pari, conseguentemente non sarà neppure divisibile per 14.
Il polinomio è formato da tre addendi, quindi la somma sarà pari se i tre addendi sono tutti pari oppure se uno è pari e gli altri due sono dispari. Inoltre ricordo che essendo \( \displaystyle {a} \),\( \displaystyle {b} \),\( \displaystyle {c} \) primi tra loro, solo uno di essi può essere pari (anche se sono dati, mi serve ipotizzare i loro valori per analizzare tutti i casi che mi possono venire fuori).
Nel caso in cui prendo \( \displaystyle {m} \) pari, poiché \( \displaystyle {a}{{m}}^{{2}}+{b}{m} \) è pari, se \( \displaystyle {c} \) è dispari, allora il polinomio è dispari, se \( \displaystyle {c} \) è pari, allora il polinomio è pari.
Nel caso in cui prendo \( \displaystyle {m} \) dispari, se \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) fossero uno pari e uno dispari, se \( \displaystyle {c} \) è dispari, allora il polinomio è pari, se \( \displaystyle {c} \) è pari, allora il polinomio è dispari. Se \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) invece sono entrambi dispari, se \( \displaystyle {c} \) è pari, allora il polinomio è pari, se \( \displaystyle {c} \) è dispari allora il polinomio è dispari.
Ho trovato i casi in cui \( \displaystyle {a}{{m}}^{{2}}+{b}{m}+{c} \) non è divisibile per 2, quindi in quegli stessi casi non può essere divisibile neppure per 14.
Generalizzando, posso dire che i numeri nella forma \( \displaystyle {a}{{m}}^{{2}}+{b}{m}+{c} \) non sono sempre divisibili per 2.

Che ne dite?
Grazie dell'aiuto.

[EnderWiggins]

Non mi convince troppo il fatto che tu sostenga che se il massimo comun divisore di tre numeri è \( \displaystyle {1} \) allora uno solo è pari..basterebbero due pari e uno coprimo con entrambi, come ad esempio \( \displaystyle {\left({2},{4},{5}\right)} \) per avere \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({2},{4},{5}\right)}={1} \).
Pensandoci io proverei così: ammettiamo che valga, ovvero che esistano \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)} \) che soddisfano le condizioni di sopra e che valga \( \displaystyle \forall{m} \).
A maggior ragione vale per \( \displaystyle {m}={0} \), dunque \( \displaystyle {c}={14}{k} \). Detto questo passo modulo 14: \( \displaystyle {\left[{a}{{m}}^{{2}}\right]}_{{14}}+{\left[{b}{m}\right]}_{{14}}+{\left[{c}\right]}_{{14}}={\left[{0}\right]}_{{14}}\Rightarrow{\left[{a}\right]}_{{14}}{\left[{{m}}^{{2}}\right]}_{{14}}+{\left[{b}\right]}_{{14}}{\left[{m}\right]}_{{14}}={\left[{0}\right]}_{{14}}\Rightarrow{\left[{m}\right]}_{{14}}{\left[{\left({a}{m}+{b}\right)}\right]}_{{14}}={\left[{0}\right]}_{{14}} \) da cui segue che: essendo \( \displaystyle {\left[{m}\right]}_{{14}}={\left[{0}\right]}_{{14}} \) o \( \displaystyle {m} \) è multiplo di \( \displaystyle {2} \), o è multiplo di \( \displaystyle {7} \), o è multiplo di \( \displaystyle {14} \), contro l'ipotesi che valga \( \displaystyle \forall{m} \).
Non mi convince, lo trovo io stesso molto debole come ragionamento, magari a qualcuno viene qualche idea! Io continuo a lavorarci..

[giammaria]

Elios, hai dimostato che a, b, c non possono avere qualsiasi valore, ma il testo diceva che sono numeri dati. Se i primi due fossero numeri dispari e il terzo pari, il polinomio sarebbe sempre divisibile per 2; resterebbe da dimostrare che non lo è per 7 per ogni valore di m.

[giammaria]

Buona l'idea di EnderWiggins, che però si concentra poi su un unico fattore trascurando l'altro.
Come ha già notato, da m=0 si ottiene c=14k e \( \displaystyle {\left[{a}{{m}}^{{2}}+{b}{m}\right]}_{{14}}={0} \).
Ponendo ora m=1 si ha \( \displaystyle {\left[{a}+{b}\right]}_{{14}}={0} \) e quindi \( \displaystyle {b}={14}{h}-{a} \). Sostituendo nella formula: \( \displaystyle {\left[{a}{{m}}^{{2}}+{14}{h}{m}-{a}{m}\right]}_{{14}}={0} \) e quindi \( \displaystyle {\left[{a}{\left({{m}}^{{2}}-{m}\right)}\right]}_{{14}}={0} \).
Considero ora m=2: si ha \( \displaystyle {\left[{2}{a}\right]}_{{14}}={0} \), quindi a deve essere divisibile per 7: ma allora lo sono anche b, c in contrasto con l'ipotesi.

[elios]

Buona l'idea di EnderWiggins, che però si concentra poi su un unico fattore trascurando l'altro.
Come ha già notato, da m=0 si ottiene c=14k e \( \displaystyle {\left[{a}{{m}}^{{2}}+{b}{m}\right]}_{{14}}={0} \).
Ponendo ora m=1 si ha \( \displaystyle {\left[{a}+{b}\right]}_{{14}}={0} \) e quindi \( \displaystyle {b}={14}{h}-{a} \). Sostituendo nella formula: \( \displaystyle {\left[{a}{{m}}^{{2}}+{14}{h}{m}-{a}{m}\right]}_{{14}}={0} \) e quindi \( \displaystyle {\left[{a}{\left({{m}}^{{2}}-{m}\right)}\right]}_{{14}}={0} \).
Considero ora m=2: si ha \( \displaystyle {\left[{2}{a}\right]}_{{14}}={0} \), quindi a deve essere divisibile per 7: ma allora lo sono anche b, c in contrasto con l'ipotesi.

io ho capito il tuo ragionamento, è solo che quando lo generalizzo riesco a fare lo stesso discorso per qualunque numero al posto di 14..
Per il numero \( \displaystyle {n} \), ponendo m=0 si ottiene \( \displaystyle {c}={n}\cdot{k} \) e \( \displaystyle {\left[{a}{{m}}^{{2}}+{b}{m}\right]}_{{n}}={0} \). Ponendo m=1 si ha \( \displaystyle {\left[{a}+{b}\right]}_{{n}}={0} \) e quindi \( \displaystyle {b}={n}\cdot{h}-{a} \). Sostituendo nella formula: \( \displaystyle {\left[{a}{{m}}^{{2}}+{n}\cdot{h}{m}-{a}{m}\right]}_{{n}}={0} \) e quindi \( \displaystyle {\left[{a}{\left({{m}}^{{2}}-{m}\right)}\right]}_{{n}}={0} \). Ponendo ora m=2: si ha \( \displaystyle {\left[{2}{a}\right]}_{{n}}={0} \), quindi a deve essere divisibile per \( \displaystyle \frac{{n}}{{2}} \) (con n pari) o per \( \displaystyle {n} \) (con n dispari): ma anche c essendo \( \displaystyle {c}={n}\cdot{k} \) è divisibile sia per \( \displaystyle {n} \) sia per \( \displaystyle \frac{{n}}{{2}} \).
C'è molto che mi sfugge, lo so..

[giammaria]

Con \( \displaystyle {n} \) dispari non ci sono problemi: se \( \displaystyle {a} \) è divisibile per \( \displaystyle {n} \) lo è anche \( \displaystyle {b}={n}{h}-{a} \) nonché \( \displaystyle {c} \), contro l'ipotesi.
Con \( \displaystyle {n} \) pari, pongo \( \displaystyle {n}={{2}}^{{k}}\cdot{p} \) essendo \( \displaystyle {p} \) un numero dispari: per il ragionamento precedente a, b, c dovrebbero essere tutti divisibili per \( \displaystyle {p} \) e la conclusione non cambia. Resta il caso p=1, cioè n=potenza di 2, che richiede un altro ragionamento, ma non l'ho ancora tentato e forse va escluso.
Colgo l'occasione per dire che il problema (e relativa generalizzazione) poteva essere affrontato anche in altro modo: posto \( \displaystyle {P}{\left({m}\right)}={a}{{m}}^{{2}}+{b}{m}+{c} \), se P(m) è divisibile per 14 per ogni m, la divisibilità vale anche per \( \displaystyle {Q}{\left({m}\right)}={P}{\left({m}+{1}\right)}-{P}{\left({m}\right)}={2}{a}{m}+{a}+{b} \) nonché per \( \displaystyle {Q}{\left({m}+{1}\right)}-{Q}{\left({m}\right)}={2}{a} \) quindi a è multiplo di 7 e risalendo indietro lo sono anche b, c.

[giammaria]

Aggiungo il caso che avevo escluso, cioè \( \displaystyle {n}={{2}}^{{k}} \). Abbiamo già visto che \( \displaystyle {c} \) deve essere divisibile per \( \displaystyle {n} \); dalle ultime due formule si ricava cha sia \( \displaystyle {a} \) che \( \displaystyle {b} \) devono esserlo per \( \displaystyle {{2}}^{{{k}-{1}}} \) che è quindi divisore di tutti i tre coefficienti. Per la validità dell'ipotesi deve quindi essere k=1: ne consegue che l'unica possibilità si ha per n=2 (a,b= dispari, c=pari).

[elios]

Con \( \displaystyle {n} \) dispari non ci sono problemi: se \( \displaystyle {a} \) è divisibile per \( \displaystyle {n} \) lo è anche \( \displaystyle {b}={n}{h}-{a} \) nonché \( \displaystyle {c} \), contro l'ipotesi.

Quindi con "non ci sono problemi" intendi dire che il numero \( \displaystyle {a}{{m}}^{{2}}+{b}{m}+{c} \) per nessun \( \displaystyle {m} \) è divisibile per un numero \( \displaystyle {n} \) dispari?

[elios]

Abbiamo già visto che \( \displaystyle {c} \) deve essere divisibile per \( \displaystyle {n} \); dalle ultime due formule si ricava cha sia \( \displaystyle {a} \) che \( \displaystyle {b} \) devono esserlo per \( \displaystyle {{2}}^{{{k}-{1}}} \)

Me lo spieghi meglio?

[giammaria]

Quindi con "non ci sono problemi" intendi dire che il numero \( \displaystyle {a}{{m}}^{{2}}+{b}{m}+{c} \) per nessun \( \displaystyle {m} \) è divisibile per un numero \( \displaystyle {n} \) dispari?

No, intendo dire che la tesi è verificata: comunque vengano dati a, b, c (con MCD=1), esiste qualche m per cui il polinomio non è divisibile per n. Infatti imponendo che la divisibilità per n valga sempre si ottiene \( \displaystyle {M}{C}{D}\ne{1} \).
Per la seconda domanda: se \( \displaystyle {2}{a} \) è divisibile per \( \displaystyle {n}={{2}}^{{k}} \), \( \displaystyle {a} \) deve essere divisibile per \( \displaystyle {{2}}^{{{k}-{1}}} \). Sostituendo in \( \displaystyle {b}={n}{h}-{a} \) si nota che lo stesso vale pe b.