Numeri perfetti

[carlo23]

Questo teorema è dovuto a Eulero, ma non è troppo difficile da dimostrare:

Se \( \displaystyle {N} \) è un numero perfetto dispari allora esiste un solo numero primo \( \displaystyle {p}\equiv{1}\text{mod}{4} \) tale che \( \displaystyle {p} \) divide \( \displaystyle {N} \)

Qualcuno vuole provare a dimostrarlo?

Non conosco la dimostrazione di Eulero, ma solo una dimostrazione trovata da me, magari trovate delle dimostrazioni alternative!

Ciao, ciao!

[TomSawyer]

Ho provato questo risultato un po' di tempo fa, credendo che fosse qualcosa di nuovo, ma poi ho visto che Euler l'aveva già trovato .

Allora, per un eventuale numero perfetto dispari (OPN) n, dovrebbe valere

\( \displaystyle \sigma{\left({n}\right)}={2}{n} \)

quindi sigma(n)/2=n.

Come assunto all'inizio n è dispari, quindi sigma(n) non contiene tra i suoi divisori \( \displaystyle {{2}}^{{m}},{m}\gt{1} \).

Dato che \( \displaystyle \sigma{\left({n}\right)}=\sigma{\left({p}{{1}}^{{{e}{1}}}\right)}\cdot\sigma{\left({p}{{2}}^{{{e}{2}}}\right)}\cdot\ldots\cdot\sigma{\left({p}{{n}}^{{{e}{n}}}\right)}=\frac{{{p}{{1}}^{{{e}{1}+{1}}}-{1}}}{{{p}{1}-{1}}}\frac{{{p}{{2}}^{{{e}{2}+{1}}}-{1}}}{{{p}{2}-{1}}}\ldots\frac{{{p}{{n}}^{{{e}{n}+{1}}}-{1}}}{{{p}{n}-{1}}} \), con p1, p2, ..., pn i primi che dividono n,

uno solo tra i membri della parte destra dell'equazione deve essere pari. E \( \displaystyle \frac{{{{p}}^{{{e}+{1}}}-{1}}}{{{p}-{1}}} \) è pari solo quando \( \displaystyle {p}&#{8801};{1}\text{mod}{4} \).

Quindi è dimostrata.

Inoltre, mi sono accorto che l'esponente di questo primo deve essere della forma \( \displaystyle {2}{\left({2}{n}-{1}\right)} \).

[carlo23]

Ho provato questo risultato un po' di tempo fa, credendo che fosse qualcosa di nuovo, ma poi ho visto che Euler l'aveva già trovato .

Bravo!

Si, infatti parecchio tempo fa avevo letto l'enunciato di Euler e ero riuscito a dimostrarlo. Dopo tutto se si è pratici di funzioni aritmetiche non è moto difficile...

Ciao!

[TomSawyer]

Io ho letto nel libro di Hoffman questo risultato, dopo averlo trovato. Ho un certo debole per i numeri perfetti.

[carlo23]

Io ho letto nel libro di Hoffman questo risultato, dopo averlo trovato. Ho un certo debole per i numeri perfetti.

è interessante che nonostante con la Teoria Analitica dei Numeri abbia ottenuto molti risultati, pochi di essi riguardano i numeri perfetti, anzi io non conosco nessun risultato che dia una stima del numero di numeri perfetti inferiori a \( \displaystyle {x} \).

[TomSawyer]

Io ho letto nel libro di Hoffman questo risultato, dopo averlo trovato. Ho un certo debole per i numeri perfetti.

è interessante che nonostante con la Teoria Analitica dei Numeri abbia ottenuto molti risultati, pochi di essi riguardano i numeri perfetti, anzi io non conosco nessun risultato che dia una stima del numero di numeri perfetti inferiori a \( \displaystyle {x} \).

Io ricordo solo certe formule piu' o meno eleganti che implicano \( \displaystyle \sigma{\left({n}\right)} \), ma niente che tratti di numeri perfetti. Uno degli argomenti piu' antichi e piu' difficili. Secondo te, esistono gli OPN?

[carlo23]

Secondo te, esistono gli OPN?

Cosa sono?

[TomSawyer]

Sì, scusa, intendo i numeri perfetti dispari. OPN è l'abbreviato dall'inglese.

[carlo23]

Sì, scusa, intendo i numeri perfetti dispari. OPN è l'abbreviato dall'inglese.

Si secondo me esistono, ma non ho idea di come si potrebbe dimostrare.

Conosci i metodi di crivello di Brun, Selberg e altri? Sembrano l'ideale per questo tipo di problemi...

[TomSawyer]

Secondo me, non esistono. Semplicemente perché si sarebbe trovato almeno un OPN in tutto questo tempo. E' proprio un problema difficile, però. Gente come Euler, Descartes hanno fallito a dimostrarela loro (non)esistenza.

No, non conosco i metodi. Quali sono?