Numeri primi di Sophie Germain

[Nidhogg]

due cose
1 mi scus per il ritardo non avevo visto la risposta.
2 incredibile ma ho dimostrato allo stesso modo di carlo 23!(ho controllato su wikipedia!

Anche le stesse notazioni (comprese le lettere!)...

[blackdie]

infatti!......

[spassky]

Giusto giusto giusto...
Ragionando per assurdo nella dimostrazione mi sono un po' confuso....

[carlo23]

Forse perché il "se stesso" e l"uno" nella definizione di un primo coincidono. Comunque sono d'accordo, non trovo neanch'io motivi. Un mio amico lo tratta da sempre in tutti i problemi come un primo .

Secondo me è scomodo, bisogna modificare un sacco di teoremi aggiungendo eccezioni:

La somma dei divisori di un numero primo \( \displaystyle {p} \) è \( \displaystyle {p}-{1} \), tranne se \( \displaystyle {p}={1} \)

Ogni numero si scompone in modo unico nel prodotto di numeri primi,diversi da 1

e molti altri...

[spassky]

Molte di queste "correzioni" dipendono dall'assurda contrapposizione tra i partiti "pro 1 numero primo" e " 1 non è primo"...

[carlo23]

3) Vie più agili per dimostrarlo ?

A me non sembra di aver trovato una via difficile. è possibile che esistano dimostrazioni più brevi ma basate su generalizzazioni del piccolo teorema di Fermat, di difficile comprensione.

Ciao!

[CA]

Sulla storia che 1 non è un numero primo non sono stato mai convinto. Se mi dici che 1 non è primo per CONVENZIONE, ci credo, ma altri motivi non ne vedo.

Tutte le definzioni sono CONVENZIONALI, se è per questo.
In ogni caso, tutti i trattati seri di teoria dei numeri non si sognano di annoverare 1 fra i numeri primi.
1 non è numero primo, perché se lo fosse bisognerebbe riscrivere tre quarti dei teoremi sui numeri primi.

Primo fra tutti il teorema fondamentale dell'aritmetica che afferma che ogni numero intero è fattorizzabile IN MODO UNICO in fattori primi.

Se psicologicamente fa difficoltà non considerare 1 primo ecco una definzione di numero primo che dovrebbe aiutare:

DEF. Un numero intero positivo (diverso da zero) si dice numero primo se ammette solo due divisori distinti.

Ora si può dimostrare il seguente teorema:

TEOR. Un numero intero positivo (diverso da zero) è numero primo sse sono verificate le seguenti proprietà:
- è >=2
- è divisibile solo per 1 e per sè stesso

[spassky]

Perfetto :basta intendersi.

[HiTToLo]

Dimostrare che se \( \displaystyle {p} \) è un numero primo di Sophie Germain allora non esistono tre numeri interi \( \displaystyle {x},{y},{z}\gt{0} \) tali che \( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}={{z}}^{{p}} \) e che \( \displaystyle {2}{p}+{1} \) non divide il prodotto \( \displaystyle {x}{y}{z} \).

Poiché si vuole \( \displaystyle {\gcd{{\left({2}{p}+{1},{x}{y}{z}\right)}}}={1} \), in virtù del criterio di Eulero (per le congruenze quadratiche), vale \( \displaystyle \pm{1}\equiv{{z}}^{{p}}\equiv{{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}\equiv\pm{1}\pm{1}{b}\text{mod}{2}{p}+{1} \), per una scelta opportuna dei segni indicati. Senonché il primo e l'ultimo membro, indipendentemente dalle effettive determinazioni dei segni, non risultano mai uguali mod 2p+1. Da qui la tesi.