da spassky » 08/01/2006, 14:44
La mia aritmetica modulare è un po' arrugginita, ma vediamo cosa si può fare...
Proviamo a dimostrarla per assurdo.
Supponiamo che esista una terna di numeri interi x,y,z (1)
\( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}={{z}}^{{p}} \)
tale che 2p+1 non divide nè x, nè y, nè z.
Poniamo \( \displaystyle {2}{p}+{1}={t} \) ed eleviamo al quadrato ambo i membri dell'equazione (1)
\( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}={{z}}^{{p}} \) ---> \( \displaystyle {{x}}^{{{2}{p}}}+{{y}}^{{{2}{p}}}+{2}{{x}}^{{p}}\cdot{{y}}^{{p}}={{z}}^{{{2}{p}}} \)
Per il teorema di Eulero, visto che t e z sono coprimi ( come anche t e x e t e y) si ha :
\( \displaystyle {{z}}^{{{2}{p}}}={{z}}^{{{t}-{1}}}={1}\text{mod}{t} \)
E così la (1) diventa :
\( \displaystyle {1}\text{mod}{t}+{1}\text{mod}{t}+{2}{{x}}^{{p}}\cdot{{y}}^{{p}}={1}\text{mod}{1} \)
E quindi la (2) :
\( \displaystyle {2}{{x}}^{{p}}\cdot{{y}}^{{p}}=-{1}\text{mod}{t} \)
Scrivendo la (1), poi, alternativamente, come
\( \displaystyle {{\left({{z}}^{{p}}-{{y}}^{{p}}\right)}}^{{2}}={{x}}^{{{2}{p}}} \)
e
\( \displaystyle {{\left({{z}}^{{p}}-{{x}}^{{p}}\right)}}^{{2}}={{y}}^{{{2}{p}}} \)
Si ottengono rispettivamente, per il teorema di Eulero,la (3) e la (4):
\( \displaystyle {2}{{\left({x}{z}\right)}}^{{p}}={1}\text{mod}{t} \)
e
\( \displaystyle {2}{{\left({x}{y}\right)}}^{{p}}={1}\text{mod}{t} \)
Combinando poi la (2) con la (3) e con la (4), si hanno :
\( \displaystyle {2}{{x}}^{{p}}{\left({{y}}^{{p}}+{{z}}^{{p}}\right)}={0}\text{mod}{t} \)
e
\( \displaystyle {2}{{y}}^{{p}}{\left({{x}}^{{p}}+{{z}}^{{p}}\right)}={0}\text{mod}{t}\) \)
Ora, se dividiamo rispettivamente le due equazioni precedenti, rispettivamente per \( \displaystyle {2}{{x}}^{{p}} \) e per \( \displaystyle {2}{{y}}^{{p}} \), e sommiamo membro a membro troveremo :
\( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}+{2}{{z}}^{{p}}={0}\text{mod}{t} \)
che per l'equazione (1), può essere riscritta come :
\( \displaystyle {{z}}^{{p}}+{2}{{z}}^{{p}}={0}\text{mod}{t} \) --> \( \displaystyle {3}{{z}}^{{p}}={0}\text{mod}{t} \)
Ma quest'ultima equazione ci dice che z è divisibile per t.E questo è falso per definizione (visto che xyz non è divisibile per t), pertanto è falsa la tesi.Dunque :
\( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}={{z}}^{{p}} \)
con x,y,z interi positivi non è valida.
Dove ho sbagliato ? E soprattutto : ho l'impressione che esista una via più facile di questa...
P.S. Un solo dubbio : P=1 o P=2, sono primi di Sophie-Germain, ma ciononostante l'ultimo teorema di Fermat ci dice che l'equazione è impossibile con gli interi, con p>2.Dunque, questo risultato di Sophie Germain dovrebbe valere solo per p>2. Giusto ?
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