carlo23 ha scritto:Dimostrare che se \( \displaystyle {p} \) è primo allora \( \displaystyle {\left(\matrix{{2}{p}\\{p}}\right)}\equiv{2}\text{mod}{2}{p} \)
Il caso p = 2 si testa "a mano". So admit p > 2. Vale \( \displaystyle {b}\in{o}{m}{\left\lbrace{2}{p}\right\rbrace}{\left\lbrace{p}\right\rbrace}={2}\cdot{\frac{{{\left({p}+{1}\right)}{\left({p}+{2}\right)}\ldots{\left({p}+{p}-{1}\right)}}}{{{\left({p}-{1}\right)}!}}} \). Considerando perciò che (p-1)! è invertibile in Z/pZ: \( \displaystyle {b}\in{o}{m}{\left\lbrace{2}{p}\right\rbrace}{\left\lbrace{p}\right\rbrace}\equiv{2}\cdot{\frac{{{\left({p}-{1}\right)}!}}{{{\left({p}-{1}\right)}!}}}\equiv{2}{b}\text{mod}{p} \). D'altro canto, \( \displaystyle {\frac{{{\left({p}+{1}\right)}{\left({p}+{2}\right)}\ldots{\left({p}+{p}-{1}\right)}}}{{{\left({p}-{1}\right)}!}}} \) è banalmente intero. Dunque \( \displaystyle {b}\in{o}{m}{\left\lbrace{2}{p}\right\rbrace}{\left\lbrace{p}\right\rbrace}\equiv{2}{b}\text{mod}{2} \), per dedurne che \( \displaystyle {b}\in{o}{m}{\left\lbrace{2}{p}\right\rbrace}{\left\lbrace{p}\right\rbrace}\equiv{2}{b}\text{mod}{2}{p} \), siccome \( \displaystyle {\gcd{{\left({2},{p}\right)}}}={1} \).
