Numeri reali \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \)

[elios]

Dimostrare che, presi due numeri reali \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \), si ha sempre:
\( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{{a}}^{{3}}\cdot{b} \)

[Nel caso in cui \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) siano discordi, la disuguaglianza è sicuramente verificata (1° membro sempre positivo, 2° membro negativo). Nel caso in cui \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) siano concordi, ho provato sfruttare una disuguaglianza sempre verificata, come \( \displaystyle {{\left({a}+{b}\right)}}^{{4}}\ge{0} \) oppure \( \displaystyle {{\left({a}-{b}\right)}}^{{4}}\ge{0} \) e poi attraverso opportune somme e sottrazioni arrivare alla mia dimostrazione, ma non ho ottenuto nulla... Come fare?]

[Steven]

SNS, non ricordo di quale anno...

Tre diverse soluzioni puoi trovarle qua
http://www.matematicamente.it/forum/2-v ... c&start=10
Guardati gli ultimi due post, e il quinto post della pagina successiva.

Mi sa che ti conviene mettere questi topic in "Giochi matematici", hanno più visibilità, credo.

Ciao!

[IvanTerr]

Trovo:
\( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{{a}}^{{3}}{b} \)
\( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}-{{a}}^{{3}}{b}\ge{0} \)
\( \displaystyle {{a}}^{{3}}{\left({a}-{b}\right)}+{{b}}^{{4}}\ge{0} \)
Se \( \displaystyle {a}={b} \) è verificata.
Se \( \displaystyle {a}\gt{b} \) è verificata.
Se \( \displaystyle {a}\lt{b} \), allora esiste un k tale che \( \displaystyle {a}+{k}={b} \)
\( \displaystyle {{a}}^{{3}}{\left({a}-{\left({a}+{k}\right)}\right)}+{{\left({a}+{k}\right)}}^{{4}}\ge{0} \)
\( \displaystyle {{a}}^{{3}}{\left({k}\right)}+{{\left({a}+{k}\right)}}^{{4}}\ge{0} \)
ed è ugualmente verificata.

[Steven]

Guarda che i numeri sono reali qualsiasi.
Giustifica i passaggi.

Ciao.

[ant.py]

ciao

allora forse è un po' laboriosa però dovrebbe essere corretta;

\( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\geq{{a}}^{{3}}\cdot{b} \)

se a e b sono discordi, è dimostrato per quanto detto da elios

supponiamo quindi a e b concordi

supponiamo \( \displaystyle {\left|{a}\right|}\gt{\left|{b}\right|} \), con \( \displaystyle {a},{b}\geq{0} \).

avremo

\( \displaystyle \frac{{{a}}^{{4}}}{{b}}+{{b}}^{{3}}\geq{{a}}^{{3}} \) ed essendo \( \displaystyle {\left|{a}\right|}\gt{\left|{b}\right|} \), allora \( \displaystyle \frac{{{a}}^{{4}}}{{b}}\geq{{a}}^{{3}} \), ed essendo \( \displaystyle {{b}}^{{3}}\geq{0} \), la relazione è dimostrata

supponiamo sempre \( \displaystyle {\left|{a}\right|}\gt{\left|{b}\right|} \), con \( \displaystyle {a},{b}\leq{0} \).

avremo
\( \displaystyle \frac{{{a}}^{{4}}}{{b}}+{{b}}^{{3}}\leq{{a}}^{{3}} \) ed essendo \( \displaystyle {\left|{a}\right|}\gt{\left|{b}\right|} \), allora \( \displaystyle {\left|\frac{{{a}}^{{4}}}{{b}}\right|}\geq{\left|{{a}}^{{3}}\right|} \), ed essendo \( \displaystyle {a},{b}\leq{0} \), avremo che \( \displaystyle \frac{{{a}}^{{4}}}{{b}}\leq{{a}}^{{3}} \). essendo inoltre \( \displaystyle {{b}}^{{3}}\leq{0} \), la relazione è dimostrata

supponiamo ora \( \displaystyle {\left|{b}\right|}\gt{\left|{a}\right|} \), con \( \displaystyle {a},{b}\geq{0} \)

avremo

\( \displaystyle \frac{{{a}}^{{4}}}{{b}}+{{b}}^{{3}}\geq{{a}}^{{3}} \) ed essendo \( \displaystyle {\left|{b}\right|}\gt{\left|{a}\right|} \), allora \( \displaystyle {{b}}^{{3}}\gt{{a}}^{{3}} \), ed essendo \( \displaystyle \frac{{{a}}^{{4}}}{{b}}\geq{0} \), la relazione è dimostrata

supponiamo sempre \( \displaystyle {\left|{b}\right|}\gt{\left|{a}\right|} \), con \( \displaystyle {a},{b}\leq{0} \)

avremo

\( \displaystyle \frac{{{a}}^{{4}}}{{b}}+{{b}}^{{3}}\leq{{a}}^{{3}} \) dividiamo per \( \displaystyle {{a}}^{{3}}{\left(\lt{0}\right)} \)
\( \displaystyle \frac{{a}}{{b}}+\frac{{{b}}^{{3}}}{{{a}}^{{3}}}\geq{1} \) ed essendo \( \displaystyle {\left|{b}\right|}\gt{\left|{a}\right|} \), sarà \( \displaystyle \frac{{{b}}^{{3}}}{{{a}}^{{3}}}\geq{1} \), ed essendo \( \displaystyle \frac{{a}}{{b}}\geq{0} \), la relazione è dimostrata

corretto?

[simo16]

ma è tutto molto più semplice! Se \( \displaystyle {\left|{a}\right|}\ge{\left|{b}\right|} \) allora \( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{{a}}^{{4}}={\left|{{a}}^{{3}}\right|}{\left|{a}\right|}\ge{\left|{{a}}^{{3}}{b}\right|}\ge{{a}}^{{3}}{b} \).
Se \( \displaystyle {\left|{a}\right|}\le{\left|{b}\right|} \) allora \( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{{b}}^{{4}}={{\left|{b}\right|}}^{{3}}{\left|{b}\right|}\ge{{\left|{a}\right|}}^{{3}}{\left|{b}\right|}={\left|{{a}}^{{3}}{b}\right|}\ge{{a}}^{{3}}{b} \).
Fine

[Angelo]

Ho trovato un'altra soluzione anche se è un po' più lunga.

La disuguaglianza è certamente vera se \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) sono numeri reali discordi (\( \displaystyle {a}{b}\lt{0} \)), quindi la provo nel caso in cui \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) siano numeri reali concordi (\( \displaystyle {a}{b}\ge{0} \)).

\( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}-{a}{{b}}^{{3}}+{{a}}^{{3}}{b}-{{a}}^{{3}}{b}={{a}}^{{3}}{\left({a}-{b}\right)}-{{b}}^{{3}}{\left({a}-{b}\right)}+{{a}}^{{3}}{b}={\left({a}-{b}\right)}{\left({{a}}^{{3}}-{{b}}^{{3}}\right)}+{{a}}^{{3}}{b}={{\left({a}-{b}\right)}}^{{2}}{\left({{a}}^{{2}}+{a}{b}+{{b}}^{{2}}\right)}+{{a}}^{{3}}{b}\ge{{a}}^{{3}}{b} \)

da cui segue che,

\( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{{a}}^{{3}}{b} \)