Ogni successione limitata ha una sottosucc. convergente

[meng]

Salve a tutti. Ho dei problemi nel capire alcuni passaggi di questa dimostrazione, quando si considera A infinito. Non ho capito come si arriva al punto in cui si definisce \( \displaystyle {a}_{{{k}{n}}} \) per induzione, qualcuno mi può aiutare?

Data la successione \( \displaystyle {\left\lbrace{a}_{{n}}\right\rbrace}_{{{n}\in{\mathbb{{{N}}}}}} \) consideriamo l'insieme \( \displaystyle {\left\lbrace{a}_{{n}}:{n}\in{\mathbb{{{N}}}}\right\rbrace}={A} \).

Se A è finito allora uno di essi è assunto da infiniti indici. Perciò esiste una sottosuccessione costante, che ha quindi limite finito.

A è infinito, allora A ha un punto di accumulazione \( \displaystyle {l}\in{\mathbb{{{R}}}} \). Costruiamo una sottosuccessone che ha limite l. Dato \( \displaystyle {N}={1} \), sia \( \displaystyle {k}_{{1}} \) un indice tale che \( \displaystyle {a}_{{{k}{1}}}\in{\left({l}-{1},{l}+{1}\right)} \). Questo punto esiste perchè l è punto di accumulazione di A.
Dato ora \( \displaystyle {k}_{{n}}\in{\mathbb{{{N}}}} \) sia \( \displaystyle {k}_{{{n}+{1}}}\gt{k}_{{n}} \) un indice tale che
\[
a_{kn+1} \in \left ( l - \frac{1}{n+1}, l + \frac{1}{n+1} \right ).
\]
Per induzione è definita \( \displaystyle {a}_{{{k}{n}}} \) e si ha:
\[
0 \leq |a_{kn}-l|< \frac{1}{n}
\]
Per il teorema del confronto si ha quindi:
\[
\lim_{n \to +\infty} |a_{kn} - l|=0 \Leftrightarrow \lim_{ n \to +\infty} a_{kn} =l
\]

[theras]

Ciao,e benvenuto!
A me pare che di fatto ti stiano dicendo che,fermo restante come \( \displaystyle \exists{k}_{{1}}\in\mathbb{N} \) t.c \( \displaystyle {a}_{{{k}_{{1}}}}\in{\left({l}-{1},{l}+{1}\right)} \),
dovrai verificare per induzione che \( \displaystyle \forall{n} \)\( \displaystyle \in\mathbb{N} \) \( \displaystyle \exists{k}_{{{n}+{1}}}\in\mathbb{N} \) t.c. \( \displaystyle {k}_{{{n}+{1}}}\gt{k}_{{n}} \)^\( \displaystyle {\left|{a}_{{{k}_{{{n}+{1}}}}}-{l}\right|}\lt\frac{{1}}{{{n}+{1}}} \);
base ed ipotesi induttiva,in questo procedimento,posson dimostrarsi formalmente partendo proprio dal fatto che,
per il teorema di Bolzano,\( \displaystyle {D}{A}\ne\emptyset \) ed usando la definizione di punto d'accumulazione per \( \displaystyle {l} \)\( \displaystyle \in{D}{A} \):
ad occhio,se hai intoppi,da qualche parte dovrebbe esserti utile un procedimento per assurdo..
Provaci da solo,e nel caso ne riparliamo dopo:
saluti dal web