Olimpiadi Matematica Genova 2005

[Gi8]

Vi propongo il quesito n.22 della gara di Genova del 2005

"Il grande capo ha stabilito che il budget a disposizione dell'Ente sarà un numero di euro pari a \( \displaystyle {34}! \), cioè il prodotto di tutti gli interi tra 1 e 34.
Un socio esegue il calcolo con l'aiuto di un computer ed ottiene il seguente stampato


34!= 295232799**96041408476186096435**000000

Purtroppo, come si può vedere, la stampante ha sostituito 4 delle cifre con degli asterischi.

Determinare le cifre mancanti

[Nella risposta scrivere le 4 cifre nello stesso ordine in cui dovrebbero comparire nello stampato] "




ovviamente, non si può usare alcun tipo di calcolatrice, nè cercare la risposta su internet.
Oltre alla risposta, potete dirmi come ci si arriva?

[Rggb]

Per cominciare vedo ci sono un bel po' di zeri alla fine, con i fattori 10, 20, 30 e anche per esempio 25x4=100 ... io ho trovato almeno 8 zeri.

[blackbishop13]

no gli \( \displaystyle {0} \) sono sette. infatti per saperlo ti basta contare quanti 5 ci sono, poi i due saranno sicuramente a sufficienza, e ottieni i 10 che dividono il nostro numero. e i 5 sono proprio sette (uno per ogni multiplo di 5, in più si considera che in 25 ce ne sono due).

quindi l'ultimo asterisco è \( \displaystyle {0} \), il penultimo no, gli altri forse.

poi si possono considerare due cose: \( \displaystyle {34}! \) è di sicuro divisibile per 9 e 11, e i criteri di divisibilità per questi due numeri dipendono solo dalla somma delle cifre.
chiamiamo i tre numeri che non conosciamo a,b,c in ordine.
la somma delle cifre di \( \displaystyle {34}! \) risulta essere \( \displaystyle {4}+{a}+{b}+{c} \) \( \displaystyle \text{mod}{9} \)
quindi dovremo avere che \( \displaystyle {a}+{b}+{c}={5} \) \( \displaystyle \text{mod}{9} \).
la somma delle cifre di posto pari è \( \displaystyle {P}={59}+{a}+{c} \), di quelle di posto dispari è \( \displaystyle {D}={80}+{b} \)
la differenza \( \displaystyle {P}-{D} \) deve essere uguale a \( \displaystyle {0} \) modulo 11.
quindi \( \displaystyle {21}+{b}-{a}-{c}={b}-{a}-{c}-{1}={0} \) \( \displaystyle \text{mod}{11} \)

si trovano così forti limitazioni sui valori di \( \displaystyle {a},{b},{c} \) ma non ancora una soluzione, mi pare, ci vuole un'altra osservazione.

[Gi8]

Bravo blackbishop13... ottime osservazioni... Alcune le avevo fatte anch'io...
In più c'è da dire un'altra cosa:
tolti i sette \( \displaystyle {0} \) iniziali il numero è 295232799**96041408476186096435*

questo numero deve essere divisibile per \( \displaystyle {8} \), e per esserlo le ultime 3 cifre devono essere un divisore di 8

quindi l'ultimo asterisco è un \( \displaystyle {2} \) , in quanto 352 è multiplo di 8

restano dunque gli altri 2 asterischi...

[blackbishop13]

ok allora è fatta.
riprendendo il mio primo post, abbiamo allora \( \displaystyle {c}={2} \) e le altre condizioni saranno
\( \displaystyle {a}+{b}={3}\text{mod}{9} \) e \( \displaystyle {b}-{a}={3}\text{mod}{11} \)
ma siccome \( \displaystyle {a},{b} \) sono interi compresi fra \( \displaystyle {0} \) e \( \displaystyle {9} \), gli unici risultati possibili sono, per la prima condizione:
\( \displaystyle {a}+{b}={3} \) e \( \displaystyle {a}+{b}={12} \).
per la seconda \( \displaystyle {b}-{a}=-{8} \) e \( \displaystyle {b}-{a}={3} \).

se \( \displaystyle {b}-{a}={8} \) allora \( \displaystyle {b}={8}+{a} \) da cui le possibilità sono \( \displaystyle {a}={0},{b}={8} \) o \( \displaystyle {a}={1},{b}={9} \) e nessuna delle due soddisfa la prima condizione.
perciò sarà \( \displaystyle {b}-{a}={3} \), \( \displaystyle {b}={a}+{3} \).
ma allora è impossibile trovare \( \displaystyle {a},{b} \) tali che \( \displaystyle {a}+{b}={12} \) perchè sostituendo \( \displaystyle {b} \) si trova \( \displaystyle {2}{a}+{3}={12} \), \( \displaystyle {a}=\frac{{9}}{{2}} \) impossibile.

quindi si ha \( \displaystyle {b}-{a}={3} \) e \( \displaystyle {b}+{a}={3} \). da cui \( \displaystyle {a}={0} \) e \( \displaystyle {b}={3} \).

la soluzione finale è allora \( \displaystyle {0},{3},{2},{0} \).

[Gi8]

Perfetto... complimenti

[blackbishop13]

grazie, e complimenti anche a te, la cosa più difficile da vedere era la divisiblità per 8 dopo aver diviso per \( \displaystyle {{10}}^{{7}} \).