Omeomorfismo tra \( \displaystyle \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} \) e \( \displaystyle {{S}}^{{1}} \)

[squalllionheart]

Il proff mi ha lasciato il seguente esercizio verificare che \( \displaystyle \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} \) e \( \displaystyle {{S}}^{{1}} \) sono omeomorfi.
Allora prima considero l'applicazione tra \( \displaystyle \mathbb{R} \) e \( \displaystyle {{S}}^{{1}} \) data dal \( \displaystyle {p}{\left({t}\right)}={{e}}^{{{2}\pi{i}{t}}} \) questa e sia continua che suriettiva.
Poi considero la proiezione \( \displaystyle \pi \) tra \( \displaystyle \mathbb{R} \) e \( \displaystyle \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} \) che manda \( \displaystyle {x} \) nella sua classe \( \displaystyle {\left[{x}\right]} \).
ora se considero la mappa \( \displaystyle {f{=}}{p}{\pi}^{{-{{1}}}} \) da \( \displaystyle \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} \) in \( \displaystyle {{S}}^{{1}} \) allora posso affermare che \( \displaystyle {f} \) è un omeomorfismo perchè:
f continua dato che è composizione di funzioni continue
f suriettiva per costruzione
f iniettiva per costuzione
DOMANDE:
1)Il Quoziente \( \displaystyle \frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}} \) se non sbaglio ha come rappresentanti \( \displaystyle {\left[{x}\right]}\in \)[ [0],[1]) e gli aperti sono tutti del tipo ([x],[y]) ?
2) il fatto che f sia iniettiva e suriettiva dipende da altre ragioni inpendentemente dalla costruzione della mappa?
Grazie a presto

[vict85]

Non capisco cosa intendi... La mappa è suriettiva e iniettiva perché è un omeomorfismo...

[squalllionheart]

Scusa ma per essere un omeomorfismo devo dimostrare che è continua e biunivoca. In fatto che sia sia iniettiva che suriettiva dipende da come ho costruito la mappa. GIusto?

[vict85]

Scusa ma per essere un omeomorfismo devo dimostrare che è continua e biunivoca. In fatto che sia sia iniettiva che suriettiva dipende da come ho costruito la mappa. GIusto?

si e no... Se \( \displaystyle \sigma:\mathbb{R}\//\mathbb{Z}\to\mathbb{R}\//\mathbb{Z} \), \( \displaystyle \rho:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) e \( \displaystyle \tau:{{S}}^{{1}}\to{{S}}^{{1}} \) sono omeomorfismi, \( \displaystyle {E}:\mathbb{R}\//\mathbb{Z}\to{{S}}^{{1}} \) è la mappa esponenziale e \( \displaystyle \pi \) è la proiezione canonica di \( \displaystyle \mathbb{R} \) nel quoziente \( \displaystyle \mathbb{R}\//\mathbb{Z} \) allora qualsiasi funzione \( \displaystyle {f{=}}\tau{E}\sigma\pi\rho \) è una funzione suriettiva e \( \displaystyle {f{'}}=\tau{E}\sigma \) è un omeomorfismo tra \( \displaystyle \mathbb{R}\//\mathbb{Z} \) e \( \displaystyle {{S}}^{{1}} \). Tu hai dimostrato che E è iniettivo e suriettivo, uno volta dimostrato quello ogni altra \( \displaystyle {f} \) lo è.

[squalllionheart]

c'è qualcosa che non mi torna.... Nel mio caso ho solo \( \displaystyle {f{=}}{E}{\pi}^{{-{{1}}}} \).
\( \displaystyle {E} \) e \( \displaystyle \pi \) sono suriettive ma chi mi assicura che \( \displaystyle {f} \) lo sia, a meno che non funzioni come nei gruppi e negli anelli, in questo caso sarebbe tutto al sicuro...

[vict85]

\( \displaystyle \mathbb{R} \) è un gruppo e \( \displaystyle \mathbb{Z} \) è un suo sottogruppo normale. \( \displaystyle {{S}}^{{1}} \) è un gruppo (come sottogruppo di \( \displaystyle \mathbb{C} \) con la moltiplicazione) e se guardi bene la mappa esponenziale è un omomorfismo di gruppi...