omomorfismi e ideali

[angus89]

Ho alcuni problemi sugli ideali, il 3 punto non riesco a proprio a concluderlo...

Sia \( \displaystyle \phi : A \rightarrow B \) un omomorfismo di anelli

NB:
per omomorfismo intendo che
\( \displaystyle \phi (1)=1 \)
\( \displaystyle \phi (ab)=\phi(a) \phi(b) \)
\( \displaystyle \phi (a+b)=\phi(a) + \phi(b) \)

1-L'immagine di un ideale e' un ideale?

Si se l'omomorfismo e' surgettivo


2-La controimmagine di un ideale e' un ideale?

Si

3-La controimmagine di un ideale massimale e' un ideale massimale?
E se l'omomorfismo e' surgettivo?

Qui ho problemi

Ho provato a dimostrare che la controimmagine di un ideale massimale non e' massimale anche se l'omomorfismo e' surgettivo, ma credo sia vero il contrario a questo punto

Ho provato considerando
\( \displaystyle \phi : Z[x] \rightarrow Z \) dove Z sono gli interi, e l'omomorfismo e' quello di valutazione, ovvero \( \displaystyle \phi (p(x))=p(1) \)
E considero la controimmagine dell'ideale generato da 2.
Tale controimmagine e' costituita da tutti i polinomi che valutati in 1 danno un numero pari.
Si puo' dimostrare subito, ma si vede ad occhio, o lo si puo' vedere usando i punti precedenti, che questo e' un ideale...
Ma dopo un po' di prove sembrerebbe che anche lui e' massimale...

Quindi non riesco a concludere, mi servirebbe un altro esempio o di sistemare questo o di dimostrare che il tutto e' vero.

Per non parlare poi dell'altro punto, togliendo la surgettivita'...

[Gatto89]

Ideale massimale... di cosa? Se ideale massimale del codominio (come penso sia dal fatto che faccia distinzione tra applicazione suriettiva o meno) allora non ha proprio senso chiedersi cosa sia la sua controimmagine perchè la definizione è mal posta: ci sono elementi che possono appartenere all'ideale ma non all'immagine, quindi come definisci la loro controimmagine?

Se invece l'applicazione è suriettiva, la definizione è ben posta e, se non ricordo male, c'era un teorema che diceva che se \( \displaystyle {f{:}}{A}\rightarrow{B} \) omomorfismo e \( \displaystyle {I} \) ideale di \( \displaystyle {B} \), si aveva che \( \displaystyle \frac{{A}}{{{{f}}^{{-{1}}}{\left({I}\right)}}}\stackrel{\sim}{=}\frac{{f{{\left({A}\right)}}}}{{I}} \) da cui segue la tesi per le proprietà dei quozienti...

1-L'immagine di un ideale e' un ideale?

Anche qui... di cosa? Se si parla dell'immagine è vero, se si parla del codominio in generale no (a meno di omomorfismi suriettivi come hai già detto).