Omomorfismi iniettivi e surgettivi

[aleio2]

Ciao a tutti. Non riesco a comprendere a pieno una cosa che forse è un po' banale, ovvero ciò che contraddistingue pienamente gli omomorfismi iniettivi e quelli surgettivi. Premesse le ovvie definizioni cosa mi dice in più l'iniettività o la surgettività di un omomorfismo? Forse è una domanda un po' strana a sentirla così ma penso ci sia qualcosa che mi sfugge.
Inoltre com'è possibile dimostrare queste due affermazioni:

\( \displaystyle \sigma : A \rightarrow B \) omomorfismo iniettivo \( \displaystyle \Rightarrow \) Qualsiasi identità verificata da B è verificata anche da A.

\( \displaystyle \sigma ' : A \rightarrow B \) omomorfismo surgettivo \( \displaystyle \Rightarrow \) Qualsiasi identità verificata da A è verificata anche da B.

Ad esempio (non vorrei sbagliare nel mio ragionamento) se ho un algebra \( \displaystyle (A,+) \) commutativa rispetto alla somma, un'algebra \( \displaystyle (B, \cdot) \) ed un omomorfismo surgettivo \( \displaystyle \omega : A \rightarrow B \) ho che

\( \displaystyle b, b' \in B \Rightarrow b\cdot b' = b'\cdot b \) perchè essendo surgettiva l'applicazione posso trovare \( \displaystyle a, a' \in A : \omega (a+a')=b\cdot b' \) ed essendo \( \displaystyle a+a'=a'+a \) applicando \( \displaystyle \omega \) avrò anche \( \displaystyle b\cdot b'=b'\cdot b \)

ma c'è un ragionamento generale che mi porta a concludere le tesi di sopra senza dover applicare il tutto come euristica?

So di essere molto noioso ma i need your help please!

[vict85]

Per me c'è qualcosa di poco chiaro in cosa vuoi dimostrare e, penso, sbagliato. Tanto per incominciare che definizione usi di identità? Che definizione usi di omomorfismo. La definizione di iniettivo e suriettivo penso sia chiara quindi non ci sono problemi.

Ma cosa chiami algebra? Perché un'algebra è una particolare struttura algebrica che possiede 3 operazioni, due interne e una esterna. Quindi c'è qualcosa che non va. Ho quasi l'impressione che tu usi algebra per intendere monoide o addirittura magma. Cosa che è piuttosto grave.

Inoltre se vuoi lavorare sugli omomorfismi su strutture algebriche o oggetti qualsiasi devi metterti all'interno di una qualche teoria che lo permetta. Quindi algebra universale, teoria dei modelli oppure categorie. In nessuna di queste, che io sappia, la tua frase ha un qualche senso univoco o per lo meno chiaro.

Comunque non basta un esempio per dimostrare qualcosa.

P.S: la funzione segno dal gruppo simmetrico \( \displaystyle {S}_{{n}} \) a \( \displaystyle {Z}_{{2}} \) è suriettiva. D'altra parte \( \displaystyle {Z}_{{2}} \) è abeliano e \( \displaystyle {S}_{{n}} \) no se \( \displaystyle {n}\gt{2} \)

[aleio2]

Inizio con lo spiegarmi meglio.
Per identità intendo qualsiasi proprietà o affermazione nei riguardi dell'algebra considerata (associatività, commutatività rispetto all'operazione).
Per algebra intendo una struttura composta da un insieme ed una o più operazioni (che sia un magma, un semigruppo, un anello, un corpo).
Ho trovato questi enunciati, come li ho citati, nelle dispense del mio professore e vengono presentati come teoremi.
Non saprei. Hai per caso qualcosa in mente che si possa avvicinare a questi enunciati? Perchè sinceramente non riesco a capirli.
In ogni caso il non essere abeliano da parte di A non è una proprietà in senso stretto. Nel senso che non è un qualcosa espressa esclusivamente mediante quantificatori universali ma mediante particolari condizioni di esistenza. Nel senso che esistono determinati elementi di A per cui non vale la commutatività ma ne esistono altri per cui vale. Non so se mi sono spiegato bene.


Aggiornamento: Comunque penso di essere riuscito a dimostrarli..

[vict85]

Inizio con lo spiegarmi meglio.
Per identità intendo qualsiasi proprietà o affermazione nei riguardi dell'algebra considerata (associatività, commutatività rispetto all'operazione).
Per algebra intendo una struttura composta da un insieme ed una o più operazioni (che sia un magma, un semigruppo, un anello, un corpo).

In algebra un'algebra non è un termine univocamente determinato ma non è un sinonimo di struttura algebrica. Non l'ho mai visto usare in quella accezione e lo considero un termine fortemente sconsigliato. Una struttura in cui sono definite funzioni binarie interne (operazioni) si chiama struttura algebrica. Se ci si trova nell'algebra moderna generalmente con algebra si intende un'algebra su un campo e quindi, sintetizzando molto, un anello che è anche spazio vettoriale. In analisi e in altri settori della matematica la parola algebra compare anche in altri usi: algebra booleana, \( \displaystyle \sigma \)-algebra e algebra su insiemi. Immagino comunque che ci siano legami tra i due usi che ho segnalato ma non sono ben visibili a chi, come me, non li ha approfonditi tantissimo.

Ho trovato questi enunciati, come li ho citati, nelle dispense del mio professore e vengono presentati come teoremi.

Se negli appunti del professore c'é scritto che una struttura in cui ci sono operazioni si chiama algebra allora sono preoccupato. In ogni caso, anche se mi sbagliassi e ci fossere almeno 100 persone che usano quel termine, ti sconsiglio di usarlo perché al di fuori degli studenti del tuo corso è rarissimo sentirlo e rischi di essere fortemente frainteso.

Ma esattamente che corso è?

Non saprei. Hai per caso qualcosa in mente che si possa avvicinare a questi enunciati? Perchè sinceramente non riesco a capirli.
In ogni caso il non essere abeliano da parte di A non è una proprietà in senso stretto. Nel senso che non è un qualcosa espressa esclusivamente mediante quantificatori universali ma mediante particolari condizioni di esistenza. Nel senso che esistono determinati elementi di A per cui non vale la commutatività ma ne esistono altri per cui vale. Non so se mi sono spiegato bene.

Il mio esempio era un controesempio sbagliato... avevo letto male il testo. Comunque l'abelianità essendo \( \displaystyle \forall a,b \in S, ab = ba \) non ha bisogno di nessuna condizione di esistenza... Se la struttura è commutativa tutti gli elementi commutano. Altrimenti ovviamente le cose cambiano. In caso contrario se segni con \( \displaystyle \phi \) la formula \( \displaystyle a*b = b*a \) (usando notazione infissa) con \( \displaystyle a \) e \( \displaystyle b \) libere allora per certi versi ti viene chiesto di considerare come si mantiene la verità della formula.

Aggiornamento: Comunque penso di essere riuscito a dimostrarli..

Personalmente non riesco a capire come si faccia a dimostrarlo senza avera una chiara idea delle definizioni. Andrebbe espressa in termini di formule logiche con particolari caratteristiche. Se vuoi te la controllo. Che definizione usi per omomorfismo esattamente?

[aleio2]

cito testualmente dal materiale del mio prof. su cui sto studiando:

"Un insieme A con una o più operazioni si chama algebra."

Ad ogni modo si, nel corso usiamo la parola "algebra" come sinonimo di struttura algebrica.

Definisco un omomorfismo come una funzione tra 2 strutture algebriche A e B che commuta con le operazioni. Ovvero se \( \displaystyle a,b \in A \) \( \displaystyle \Phi:A\rightarrow B \) è un omomorfismo se \( \displaystyle \Phi (a\cdot b) = \Phi(a) \cdot \Phi(b) \) . Qui ho usato una sola operazione, ma naturalmente so che le operazioni delle 2 strutture possono essere diverse.

Per la dimostrazione la posto domani mattina appena mi sveglio. Comunque sono dell'idea che sono cose semplici ma evidentemente le sto ponendo in maniera confusa. Effettivamente tutto ciò che scrive/dice il mio prof. è molto criptico. Sarà che tiene anche un corso di Crittografia.

P.s. Il corso che seguo si chiama Aritmetica che poi dovrebbe essere una prima parte del corso di Algebra.


Ho trovato anche la seguente definizione su Wikipedia nella sezione riguardante l'algebra universale:

"Dal punto di vista dell'algebra universale, una algebra (o algebra astratta) è un insieme A dotato di un insieme di operazioni su A."

[vict85]

Capito. Ok, allora ti trovi nell'algebra universale. Io non l'ho mai fatta ed è per questo che non avevo mai sentito il termine con quell'uso. In questo caso comunque il mio consiglio di usare struttura algebrica quando sai di non trovarti nell'algebra universale rimane: l'algebra universale non è un argomento molto comune nei curriculum di matematica. Io ho fatto un corso in teoria dei modelli (beh, il corso si chiamava strutture algebriche in realtà) ma eravamo in 3 a farlo e comunque la teoria dei modelli è molto più importante nella logica matematica di quanto lo sia l'algebra universale nell'algebra.
Mi sembra strano che in un primo corso di algebra vi diano nozioni di algebra universale... Ma dove studi? Comunque ora ha tutto più senso. :p

Se per identità intende le proprietà dell'operazione allora ci si riduce a dimostrarlo per associatività, commutatività e proprietà distributiva. D'altra parte penso sia dimostrabile per identità più generali.

Penso che sia criptico perché è una teoria avanzata che vi viene semplificata. E in parte perché probabilmente non avete abbastanza dimestichezza con le strutture algebriche per poter visualizzare bene i teoremi. Nel senso che una volta che avete visto gli stessi teoremi per varie strutture la generalizzazione è facile. Ma avere direttamente a che fare con la generalizzazione potrebbe essere complesso.

Dopo metto una dimostrazione generale... Ora devo andare. Scrivo solo la definizione di identità che userò (invetata sul momento).

Definizione - Una \( \displaystyle S \) -identità è una \( \displaystyle S \) -formula nella forma \( \displaystyle \varphi=\psi \) dove \( \displaystyle \varphi \) e \( \displaystyle \psi \) sono \( \displaystyle S \) -formule che contengono solamente variabili libere e simboli del linguaggio della struttura \( \displaystyle S \) (in pratica le sue operazioni).

Supponiamo che l'identità abbia \( \displaystyle N \) variabili libere.

P.S: Se commuta con le operazioni allora commuta anche con le formule. Dopo lo scrivo meglio.

[aleio2]

Studio a Pisa. Il corso in effetti ha un ottica molto più generale \( \displaystyle \rightarrow \) particolare che viceversa. In ogni caso (lo scrivo in maniera un po' abbozzata) se l'omomorfismo \( \displaystyle f:A\rightarrow B \) è iniettivo allora \( \displaystyle A=A_{/Ker(f)}\cong Im(f) \) (per il teorema fondamentale di isomorfismo). Essendo \( \displaystyle Im(f) \) sottoalgebra di \( \displaystyle B \) ho che se un qualcosa è verificato da \( \displaystyle B \) è verificato anche da \( \displaystyle Im(f) \) e per isomorfismo da \( \displaystyle A \) . Un po' abbozzata forse ma dovrebbe andare.

[vict85]

Studio a Pisa. Il corso in effetti ha un ottica molto più generale \( \displaystyle \rightarrow \) particolare che viceversa. In ogni caso (lo scrivo in maniera un po' abbozzata) se l'omomorfismo \( \displaystyle f:A\rightarrow B \) è iniettivo allora \( \displaystyle A=A_{/Ker(f)}\cong Im(f) \) (per il teorema fondamentale di isomorfismo). Essendo \( \displaystyle Im(f) \) sottoalgebra di \( \displaystyle B \) ho che se un qualcosa è verificato da \( \displaystyle B \) è verificato anche da \( \displaystyle Im(f) \) e per isomorfismo da \( \displaystyle A \) . Un po' abbozzata forse ma dovrebbe andare.

Personalmente è una scelta che non condivido. Anche perché tra le varie teorie che ho citato sopra quella più studiata sono le categorie.

La dimostrazione mi sembra corretta anche se penso si possa fare a meno del teorema fondamentale. La mia usando questioni più logiche che algebriche (anche se io sono un teorico di gruppi interessato ai suoi legami con la geometria ) è così:

1) Sia \( \displaystyle h: S \to S' \) un morfismo iniettivo. Se \( \displaystyle \mathbf{a} \) è una tupla di elementi di \( \displaystyle S \) allora \( \displaystyle h\mathbf{a} \) la definisco come la tupla delle immagini dei suoi elementi cioè che mappa \( \displaystyle a_i \mapsto ha_i \)
\( \displaystyle S'\models \forall \mathbf{a}[\varphi(\mathbf{a})=\psi(\mathbf{a})] \) cioè che l’identità vale per ogni tupla di elementi di \( \displaystyle S' \) . In particolare \( \displaystyle hS \) è una sottostruttura e quindi \( \displaystyle hS \models \forall \mathbf{a}[\varphi(\mathbf{a})=\psi(\mathbf{a})] \) .
Siccome il morfismo \( \displaystyle h \) è iniettivo \( \displaystyle h^{-1}: hS \to S \) è un isomorfismo. Sia quindi \( \displaystyle \mathbf{a} \) un generica tupla di elementi di \( \displaystyle hS \) . Allora \( \displaystyle hS\models \varphi(\mathbf{a})=\psi(\mathbf{a}) \) . Osserviamo che siccome \( \displaystyle h^{-1} \) commuta con l'operazione allora \( \displaystyle \varphi(h^{-1}\mathbf{a}) = h^{-1}\varphi(\mathbf{a}) = h^{-1}\psi(\mathbf{a}) = \psi(h^{-1}\mathbf{a}) \) e quindi \( \displaystyle h^{-1}hS = S \models \forall \mathbf{a}[\varphi(\mathbf{a})=\psi(\mathbf{a})] \) .

2) Sia \( \displaystyle h: S \to S' \) un morfismo suriettivo.
\( \displaystyle S\models \forall \mathbf{a}[\varphi(\mathbf{a})=\psi(\mathbf{a})] \) cioè che l’identità vale per ogni tupla di elementi di \( \displaystyle S \) . Sia \( \displaystyle \mathbf{b} = h\mathbf{a} \) una tupla di elementi di \( \displaystyle S' \) (l'esistenza di \( \displaystyle \mathbf{a} \) è assicurata dalla suriettività) allora \( \displaystyle \varphi(\mathbf{b})=\varphi(h\mathbf{a}) = h\varphi(\mathbf{a}) = h\psi(\mathbf{a}) = \psi(h\mathbf{a}) = \psi(\mathbf{b}) \) e quindi \( \displaystyle hS = S' \models \forall \mathbf{a}[\varphi(\mathbf{a})=\psi(\mathbf{a})] \) .

P.S: la scrittura \( \displaystyle S\models \psi(\mathbf{a}) \) , che si legge \( \displaystyle S \) modella \( \displaystyle \psi(\mathbf{a}) \) , significa più o meno che in \( \displaystyle S \) la formula è vera. La formula usate sono solamente variabili libere (cioè che non sono "mutificate" dai quantificatori) e funzioni/operazioni. Quindi in pratica le puoi vedere come espressioni, di fatto lo sono.

[aleio2]

É forse per me una notazione un po' strana/pesante. La rileggerò con calma nei prossimi giorni e ti ringrazio per il tuo interessamento:).
Grazie mille!