Omomorfismi S3 -->S3

[Luca91]

Salve vorrei un consiglio su questo esercizio :
Determina il numero di omomorfismi $ S3rarr S3 $ .
Considero tutti i sottogruppi normali di $ S3 $ che sono $ id $ , $ S3 $ , $ A3 $ e distinguo tre casi :
Se ker = $ S3 $ ho l'omomorfismo banale.
Se ker = $ A3 $ ho che $ (S3)/(A3) $ è isomorfo a $ Z2 $ e quindi gli omomorfismi $ Z2rarr S3 $ sono 4
Se ker = $ id $ cosa posso dire ? cambia il numero degli omomorfismi ?

[vict85]

Salve vorrei un consiglio su questo esercizio :
Determina il numero di omomorfismi $ S3rarr S3 $ .
Considero tutti i sottogruppi normali di $ S3 $ che sono $ id $ , $ S3 $ , $ A3 $ e distinguo tre casi :
Se ker = $ S3 $ ho l'omomorfismo banale.
Se ker = $ A3 $ ho che $ (S3)/(A3) $ è isomorfo a $ Z2 $ e quindi gli omomorfismi $ Z2rarr S3 $ sono 4
Se ker = $ id $ cosa posso dire ? cambia il numero degli omomorfismi ?

Perché sono 4? I 2-cicli sono $(12)$, $(13)$ e $(23)$.

Per \(\displaystyle \ker f = \mathrm{id} \) ricavo che \(\displaystyle f \) è un automorfismo di \(\displaystyle S_3 \). Quanti e quali sono gli automorfismi di \(\displaystyle S_3 \)?

[Luca91]

Ho scritto che gli omomorfismi $ Z2rarr S3 $ sono 4 perchè ho incluso anche l'omomorfismo banale, ma giustamente non va considerato perchè calcolato nel caso precedente
Per quanto riguarda l'insieme degli automorfismi $ Int (S3) $ so che è isomorfo a $ (S3)/(Z(S3)) $ , e visto che il centro è banale è isomorfo a $ S3 $ , quindi ci dovrebbero essere 6 automorfismi...

[Maryse]

Io ho fatto questo esercizio giorni fa...e in tutto mi vengono 5 omomorfismi..
non so se sbaglio qualcosa..mi vengono i due banali e ok. e 3 omom. per il sottogruppo alternante ...

[melli13]

Anche secondo me dovrebbero esserci 6 automorfismi...quindi 6+3+1=10 omorfismi in tutto...giusto?

[Martino]

6+3+1=10 omorfismi in tutto...giusto?

Sì giusto.

[melli13]

Grazieeeeeee...! Sono stra-felice...!

[Maryse]

Perchè sono 10 gli omomorfismi...?..a me vengono molti di meno, qualcuno può scrivere in breve il procedimento per favore!! Grazie

[Martino]

Perchè sono 10 gli omomorfismi...?..a me vengono molti di meno, qualcuno può scrivere in breve il procedimento per favore!! Grazie

Non te ne possono venire meno di sei, dato che \( \displaystyle S_3 \) possiede sei automorfismi interni (dato che ha centro banale, si immerge in \( \displaystyle \text{Aut}(S_3) \) ). In realtà un argomento ausiliario permette di dimostrare che tutti gli automorfismi di \( \displaystyle S_3 \) sono interni. Quindi ci sono sei automorfismi, poi c'è l'omomorfismo banale (e siamo a sette omomorfismi), e poi ci sono i tre omomorfismi con nucleo \( \displaystyle A_3 \) . Vedi anche qui.

[Maryse]

sisi l'ho appena rifatto, e me ne vengono 10, avevo fatto un pasticcio! Grazie mille!