Operazioni binarie con stessa identità bilatera

[lewis]

Ciao a tutti, dopo aver fatto lo scritto devo sostenere l'ultimo esame universitario orale di Matematica Discreta per potermi laureare in Informatica.
Ho problemi nel fare il seguente esercizio presente in un tema d'esame, nel senso che non ho proprio idea di come impostarlo:

Siano:

# : A x A \( \displaystyle \to \) A
* : A x A \( \displaystyle \to \) A

due operazioni binarie su un insieme A aventi la stessa identità bilatera e. Si dimostri che se vale l'identità (a*b)#(c*d)=(a#c)*(b#d) per ogni a, b, c, d in A allora le due operazioni sono uguali, commutative ed associative.

Voi sapreste gentilmente aiutarmi?

Grazie in anticipo!

[WiZaRd]

Per provare che sono uguali devi far vedere che \( \displaystyle \forall{\left({x},{y}\right)}\in{A}\times{A},#{\left({x},{y}\right)}=\star{\left({x},{y}\right)} \).
Per fare questo ti basta usare quella identità con \( \displaystyle {a}={x},{b}={y},{c}={e} \).

Se quanto detto non basta, in spoiler c'è un ulteriore indizio.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Parti da \( \displaystyle {x}#{y}={\left({x}\star{y}\right)}#{\left({b}\star{e}\right)} \) e prosegui commutando nella parentesi giusta e usando l'identità.

[lewis]

Ciao.
in realtà non ho capito molto dei suggerimenti che mi hai gentilmente postato...l'unica cosa che ho capito è che, evidentemente, quello che avevo pensato io è follia pura...
infatti io avevo pensato una cosa del genere:
per ipotesi, visto che a,b,c,d \( \displaystyle \in \) A e le operazioni succitate sono così definite per ipotesi,

(a * b) = e; (b * c) = e

(a #c) = e ; (b#d) = e

perciò l'identità scritta verrebbe tipo

e # e = e * e

ma anche le due operazioni e # e, e * e essendo definite in quel modo per ipotei rissultano essere uguali ciascuna ad e

( le due operazioni sono perciò uguali, no?)

ovviamente, anche applicando la proprietà commutativa viene la stessa cosa, e si possa pertanto dimostrare la commutatività.
dove sta l'errore del mio rgionamento? perchè, in effetti, se l'esercizio si risolvesse così (magari!!!) sarebbe troppo facile...no?

Ciao e grazie per la pazienza.