Operazioni con le classi di resto modulo n

[newton_1372]

Chiedo scusa, ma non capisco cosa dicono gli appunti del mio prof...mi aiutate a decifrarli? Vengono definite le operazioni con le classi di resto modulo n. Mi fa un ragionamento di questo tipo:

\( \displaystyle {a}={b}+{k}{n} \)
\( \displaystyle {a}'={b}'+{h}{n} \).

Sommando membro a membro trovo
\( \displaystyle {a}+{a}'={b}+{b}'+{\left({k}+{h}\right)} \)

da cui ricavo che sommando un elemento che sta nella classe k e un elemento che sta nella classe h ottengo un elemento che sta sulla classe k+h. Questo giustificherebbe la definizione di "somma" tra classi di resto come poi viene definita.

Ma ora il professore di Analisi dalle cui lezioni ho preso gli appunti fa lo stesso ragionamento col prodotto. Il prodotto viene

\( \displaystyle {a}{a}'={b}{b}'+{\left({b}{h}+{b}'{k}+{h}{k}{n}\right)}{n} \).

Cioè il prodotto tra un elemento di classe k e un elementi di classe h sembra venire un elemento di classe \( \displaystyle {\left({b}{h}+{b}'{k}+{h}{k}{n}\right)}{n} \). In che modo questo giustifica il prodotto tra due classi di resto come
\( \displaystyle {\left({h}\right)}_{{n}}{\left({k}\right)}_{{n}}={\left({h}{k}\right)}_{{n}} \)?

[perplesso]

Sommando membro a membro trovo
\( \displaystyle {a}+{a}'={b}+{b}'+{\left({k}+{h}\right)} \)

Qui ci manca una \( \displaystyle {n} \) infatti dovrebbe essere \( \displaystyle {a}+{a}'={b}+{b}'+{\left({k}+{h}\right)}{n} \)

Per quanto riguarda la moltiplicazione, osserva che \( \displaystyle {\left({b}{h}+{b}'{k}+{h}{k}{n}\right)}{n} \) è un multiplo di \( \displaystyle {n} \) e quindi la relazione

\( \displaystyle {a}{a}'={b}{b}'+{\left({b}{h}+{b}'{k}+{h}{k}{n}\right)}{n} \)

ti dice semplicemente che \( \displaystyle {n} \) divide la differenza \( \displaystyle {a}{a}'-{b}{b}' \) e quindi che \( \displaystyle {a}{a}' \) e \( \displaystyle {b}{b}' \) sono congrui modulo n cioè stanno nella stessa classe di equivalenza.