ordine dell'isomorfismo??????

[natia88]

ho trovato questo esercizio... " sia G un gruppo e sia a appartenente a G. sia \( \displaystyle {f{{a}}}:{G}\to{G} \) definita da \( \displaystyle {f{{a}}}{\left({g}\right)}={a}\cdot{g{\cdot}}{{a}}^{{-{{1}}}} \) , per ogni g appartenente a G. dimostrare che \( \displaystyle {o}{\left({f{{a}}}\right)}{\mid}{o}{\left({a}\right)} \)." non so proprio da dove partire...qualcuno per favore mi da una mano???

[Martino]

Il metodo piu' "interdisciplinare" e' considerare il centro del gruppo \( \displaystyle {G} \), cioe'

\( \displaystyle {Z}={\left\lbrace{g{\in}}{G}\ {\mid}\ {g{{x}}}={x}{g{\ }}\forall{x}\in{G}\right\rbrace} \),

il sottoinsieme di \( \displaystyle {G} \) che consiste degli elementi di \( \displaystyle {G} \) che commutano con ogni elemento di \( \displaystyle {G} \). E' facile vedere che \( \displaystyle {Z} \) e' un sottogruppo normale di \( \displaystyle {G} \).

Ora osserva che l'ordine di \( \displaystyle {f{{a}}} \) coincide col minimo intero \( \displaystyle {n} \) tale che \( \displaystyle {{a}}^{{n}}\in{Z} \).

E osserva che se \( \displaystyle {m} \) e' l'ordine di \( \displaystyle {a} \) allora \( \displaystyle {{a}}^{{m}}={1}\in{Z} \).

Cosa succede nel quoziente \( \displaystyle {G}\//{Z} \)?