ordine di una composizione di permutazioni

[pandy]

salve. ho un problema con le permutazioni in algebra.
devo risolvere un esercizio che mi da come permutazione z= (13472956) e x=(172394)(68) decomposizione in cicli disgiunti.
mi chiede di calcolare la (zx)^-1235 e dire se ha ordine 15 senza fare calcoli. qualcuno mi sa aiutare?! è l'unico problema che ho con sti esercizi ma mi sta facendo impazzire.

grazie in anticipo

[dissonance]

decomponi tutto in cicli disgiunti, in questo modo sai subito l'ordine della permutazione come m.c.m. delle lunghezze dei cicli.

[pandy]

sono già decomposte in cicli disgiunti così come la loro composizione che è xz=(1245368)(97). mi serve sapere (xz) elevato alla -1235 se ha ordine 15 ma non posso stare li ed elevarla (moltiplicarla per se stessa) fino a 1235:(

[dissonance]

vabbé ma se tu conosci il periodo di xz, supponiamo che sia \( \displaystyle {n} \), allora \( \displaystyle {x}{{z}}^{{k}} \) oppure \( \displaystyle {x}{{z}}^{{{k}\ \text{mod}\ {n}}} \) sono la stessa cosa!

[dissonance]

nel tuo caso:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La permutazione \( \displaystyle {x}{z} \) è il prodotto di un 8-ciclo e di un 2-ciclo, quindi il suo ordine (o periodo, come preferisci dire) è \( \displaystyle \text{m.c.m.}{\left({8},{2}\right)}={8} \). \( \displaystyle -{1235}\ \text{mod}\ {8}={5} \) quindi \( \displaystyle {{\left({x}{z}\right)}}^{{-{{1235}}}}={{\left({x}{z}\right)}}^{{5}} \).
Possiamo calcolare l'ordine di questa permutazione (che sicuramente non sarà 15, visto che è la potenza di una permutazione di ordine più basso) con la formula \( \displaystyle {o}{\left({{\left({x}{z}\right)}}^{{5}}\right)}={\frac{{{o}{\left({x}{z}\right)}}}{{\text{MCD}{\left({o}{\left({x}{z}\right)},{5}\right)}}}}={o}{\left({x}{z}\right)}={8} \).

Se non ti ricordi questa formula, usa questa osservazione: il gruppo \( \displaystyle \lt{x}{z}\gt \) è ciclico di ordine 8, quindi è isomorfo a \( \displaystyle {\left(\mathbb{Z}_{{8}},+\right)} \) e l'isomorfismo è \( \displaystyle {x}{{z}}^{{k}}\mapsto{\left[{k}\right]} \). Allora \( \displaystyle {x}{{z}}^{{5}}\leftrightarrow{\left[{5}\right]}\in\mathbb{Z}_{{8}} \) e \( \displaystyle {5} \) è relativamente primo con \( \displaystyle {8} \), perciò \( \displaystyle {\left[{5}\right]} \) è un generatore di \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{8}} \) e quindi ha periodo 8. Questa proprietà si trasferisce a \( \displaystyle {x}{{z}}^{{5}} \) mediante l'isomorfismo di prima.

fammi sapere se qualcosa non è chiaro. Ciao!

[pandy]

ok praticamente devo trovare quel numero che è congruente modulo o(xy) a -1235 e poi usare la formula che già conoscevo ma non capivo come usare. grazie mille.

[vict85]

salve. ho un problema con le permutazioni in algebra.
devo risolvere un esercizio che mi da come permutazione z= (13472956) e x=(172394)(68) decomposizione in cicli disgiunti.
mi chiede di calcolare la (zx)^-1235 e dire se ha ordine 15 senza fare calcoli. qualcuno mi sa aiutare?! è l'unico problema che ho con sti esercizi ma mi sta facendo impazzire.

grazie in anticipo

Sono cicli disgiunti e continueranno a esserlo dopo la moltiplicazione

\( \displaystyle {z}{x}={\left({13472956}\right)}{\left({172394}\right)}{\left({68}\right)}={\left({1243568}\right)}{\left({79}\right)} \)

Dato che cicli disguinti commutano si ha che
\( \displaystyle {{\left(\alpha\beta\right)}}^{{n}}={\alpha}^{{n}}{\beta}^{{n}} \) con \( \displaystyle \alpha \) e \( \displaystyle \beta \) disgiunti.

Quindi \( \displaystyle {{\left({\left({1243568}\right)}{\left({79}\right)}\right)}}^{{-{1235}}}={{\left({1243568}\right)}}^{{-{1235}}}{{\left({79}\right)}}^{{-{1235}}} \)

Dato che \( \displaystyle {{\left({79}\right)}}^{{-{1235}}}={\left({79}\right)} \), perché -1235 è dispari, l'ordine di \( \displaystyle {{\left({z}{x}\right)}}^{{-{1235}}} \) deve essere pari e 15 non lo è. Quindi la risposta è no. Inoltre avevi anche che il primo era un 7-ciclo e per la formula di dissonance qualsiasi sua potenza avrà ordine 7. Quindi in questo caso l'ordine di \( \displaystyle {{\left({z}{x}\right)}}^{{n}} \) con \( \displaystyle {n} \) qualsiasi è sempre 14.

Puoi usare la formula di dissonance ma in questo caso non serviva affatto.

P.S: c'é scritto che non lo devi calcolare... In ogni caso per dissonance: dovresti ricontrollare i calcoli... non esistono permutazioni formate da cicli disgiunti di ordine 8 e 2 rispettivamente in \( \displaystyle {S}_{{9}} \) (ci sono solamente i numeri da 1 a 9 e 8+2=10)

[pandy]

grazie mille ad entrambi...

[dissonance]

vict85 ha ragione: ho fatto tutto in fretta, e avevo scambiato il ciclo più lungo per un 8-ciclo. E' chiaro che questo è un errore.
Avevo anche capito che ti servisse il calcolo esplicito dell'ordine di \( \displaystyle {{\left({x}{z}\right)}}^{{-{1235}}} \). Scusa ...
La soluzione di vict85 è molto più rapida ed elegante.

Un'alternativa è osservare che, in un gruppo qualsiasi, se un elemento ha periodo \( \displaystyle {p} \), ogni sua potenza avrà per periodo un divisore di \( \displaystyle {p} \) (che si può calcolare con la formula di prima). E quindi, dato che \( \displaystyle {x}{z} \) ha periodo 14, non può essere che \( \displaystyle {x}{{z}}^{{-{1235}}} \) abbia periodo 15.

Inoltre avevi anche che il primo era un 7-ciclo e per la formula di dissonance qualsiasi sua potenza avrà ordine 7. Quindi in questo caso l'ordine di (zx)n con n qualsiasi è sempre 14.

Questo invece non riesco a capirlo. Ad esempio l'ordine di \( \displaystyle {{\left({x}{z}\right)}}^{{7}} \) non dovrebbe essere 2? In fondo \( \displaystyle \lt{x}{z}\gt \) è \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{14}} \), e non è mica vero che in \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{14}} \) tutti gli elementi hanno periodo 14. In cosa mi sbaglio?