Parametrica di secondo grado

[giannirecanati]

E' data l'equazione \(\displaystyle 2ax^2+(a^2-6)x-3a=0 \) nell'incognita \(\displaystyle x \).
a) Per quali valori di \(\displaystyle a \) l'equazione ammette una soluzione?
b)Per quali valori di \(\displaystyle a \) l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti?
c) Se \(\displaystyle a\not = 0 \), quali sono le soluzioni dell'equazione?

a) Questo è semplice. Affinché la soluzione sia una dobbiamo ridurla ad un'equazione di primo grado, ovvero \(\displaystyle 2a=0 \), da cui \(\displaystyle a=0 \).

b) Qui trovo serie difficoltà. Per rispettare la richiesta impongo \(\displaystyle \Delta=0 \), da cui \(\displaystyle (a^2-6)^2+12a=0 \), quindi \(\displaystyle a^4-12a^2+12a+36=0 \), ma non riesco a scomporre il polinomio, né a capire se abbia radici reali.

c) Non riesco a semplificare \(\displaystyle \sqrt{a^4-12a^2+12a+36} \).

Potreste darmi qualche dritta? Grazie mille.

[chiaraotta]

E' data l'equazione \(\displaystyle 2ax^2+(a^2-6)x-3a=0 \) nell'incognita \(\displaystyle x \).
a) Per quali valori di \(\displaystyle a \) l'equazione ammette una soluzione?
b)Per quali valori di \(\displaystyle a \) l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti?
c) Se \(\displaystyle a\not = 0 \), quali sono le soluzioni dell'equazione?

a) Questo è semplice. Affinché la soluzione sia una dobbiamo ridurla ad un'equazione di primo grado, ovvero \(\displaystyle 2a=0 \), da cui \(\displaystyle a=0 \).

b) Qui trovo serie difficoltà. Per rispettare la richiesta impongo \(\displaystyle \Delta=0 \), da cui \(\displaystyle (a^2-6)^2+12a=0 \), quindi \(\displaystyle a^4-12a^2+12a+36=0 \), ma non riesco a scomporre il polinomio, né a capire se abbia radici reali.

c) Non riesco a semplificare \(\displaystyle \sqrt{a^4-12a^2+12a+36} \).

Potreste darmi qualche dritta? Grazie mille.

Mi sembra che sia
\( \displaystyle \Delta={{\left({{a}}^{{2}}-{6}\right)}}^{{2}}-{4}\cdot{2}{a}\cdot{\left(-{3}{a}\right)}={{a}}^{{4}}-{12}{{a}}^{{2}}+{36}+{24}{{a}}^{{2}}={{a}}^{{4}}+{12}{{a}}^{{2}}+{36}={{\left({{a}}^{{2}}+{6}\right)}}^{{2}} \),
che quindi è \( \displaystyle \gt{0} \) per ogni \( \displaystyle {a} \).

[giannirecanati]

Il solito erroraccio di conti, grazie mille Chiaraotta!