passaggio algebrico integrale..

[ben]

Ciao a tutti ,

ho un integrale del tipo \( \displaystyle \int{{e}}^{{{2}{x}}}\cdot{\ln{{\left({1}+{{e}}^{{x}}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.} \) , la risolvo sostituendo \( \displaystyle {{e}}^{{x}}={t} \)
con la sostituzione e applicando l'integrale per parti ottengo :
\( \displaystyle {\left(\frac{{{t}}^{{2}}}{{2}}\right)}{\ln{{\left({1}+{t}\right)}}}-\frac{{{t}}^{{2}}}{{4}}+\frac{{t}}{{2}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}{\ln{Â}}¦{1}+{t}¦\right)}+{c} \)
la somma algebrica dei logaritmi non posso farla perché uno e modulo e l'altro no
giusto ?
se sostituisco e^x=t ottengo :
\( \displaystyle \int\frac{{{e}}^{{{2}{x}}}}{{2}}\cdot{\ln{{\left({1}+{{e}}^{{x}}\right)}}}-\frac{{{e}}^{{{2}{x}}}}{{4}}+\frac{{{e}}^{{x}}}{{2}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\cdot{\ln{Â}}¦{1}+{{e}}^{{x}}¦\right)}+{c} \)
il libro mi da come risultato :
\( \displaystyle \int\frac{{{e}}^{{{2}{x}}}}{{2}}\cdot{\ln{{\left({1}+{{e}}^{{x}}\right)}}}-\frac{{{e}}^{{{2}{x}}}}{{4}}+\frac{{{e}}^{{x}}}{{2}}-{\ln{\sqrt{{{1}+{{e}}^{{x}}}}}}+{c} \)
Per la regola dei log mette 1/2 ad esponente dell'argomento e
quindi diventa una radice quadrata , ma perché sparisce anche il modulo ?

E' giusto dire che sparisce perchè il suo argomento sarà sempre positivo in
quanto c'è una radice quadrata ? e poi 1+e^x puo' dare solo valori positivi...

grazie
ben

[nicola de rosa]

Ciao a tutti ,

ho un integrale del tipo \( \displaystyle \int{{e}}^{{{2}{x}}}\cdot{\ln{{\left({1}+{{e}}^{{x}}\right)}}}{\left.{d}{x}\right.} \) , la risolvo sostituendo \( \displaystyle {{e}}^{{x}}={t} \)
con la sostituzione e applicando l'integrale per parti ottengo :
\( \displaystyle {\left(\frac{{{t}}^{{2}}}{{2}}\right)}{\ln{{\left({1}+{t}\right)}}}-\frac{{{t}}^{{2}}}{{4}}+\frac{{t}}{{2}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}{\ln{Â}}¦{1}+{t}¦\right)}+{c} \)
la somma algebrica dei logaritmi non posso farla perché uno e modulo e l'altro no
giusto ?
se sostituisco e^x=t ottengo :
\( \displaystyle \int\frac{{{e}}^{{{2}{x}}}}{{2}}\cdot{\ln{{\left({1}+{{e}}^{{x}}\right)}}}-\frac{{{e}}^{{{2}{x}}}}{{4}}+\frac{{{e}}^{{x}}}{{2}}-{\left(\frac{{1}}{{2}}\cdot{\ln{Â}}¦{1}+{{e}}^{{x}}¦\right)}+{c} \)
il libro mi da come risultato :
\( \displaystyle \int\frac{{{e}}^{{{2}{x}}}}{{2}}\cdot{\ln{{\left({1}+{{e}}^{{x}}\right)}}}-\frac{{{e}}^{{{2}{x}}}}{{4}}+\frac{{{e}}^{{x}}}{{2}}-{\ln{\sqrt{{{1}+{{e}}^{{x}}}}}}+{c} \)
Per la regola dei log mette 1/2 ad esponente dell'argomento e
quindi diventa una radice quadrata , ma perché sparisce anche il modulo ?

E' giusto dire che sparisce perchè il suo argomento sarà sempre positivo in
quanto c'è una radice quadrata ? e poi 1+e^x puo' dare solo valori positivi...

grazie
ben

il valore assoluto puoi pure non metterlo per i motivi che hai detto cioè \( \displaystyle {{e}}^{{x}}+{1}\gt{0}\forall{x}\in\mathbb{R} \), per cui pure \( \displaystyle \sqrt{{{{e}}^{{x}}+{1}}}\gt{0}\forall{x}\in\mathbb{R} \)

[ben]

grazie della risposta.
Ma se avessi avuto per esempio \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}{\ln{Â}}¦{x}-{1}¦ \)
in questo caso avrei dovuto mettere la radice all'interno del valore assoluto
giusto ? \( \displaystyle {\ln{Â}}¦\sqrt{{{x}-{1}}}¦ \)

grazie
Ben

[nicola de rosa]

grazie della risposta.
Ma se avessi avuto per esempio \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}}{\ln{Â}}¦{x}-{1}¦ \)
in questo caso avrei dovuto mettere la radice all'interno del valore assoluto
giusto ? \( \displaystyle {\ln{Â}}¦\sqrt{{{x}-{1}}}¦ \)

grazie
Ben

\( \displaystyle {\ln{{\left(\sqrt{{{\left|{x}-{1}\right|}}}\right)}}} \)

[ben]

grazie