Per quali valori di x converge il metodo di newton?

[Fatina85]

Ciao a tutti ancora
continuo la carovana di dubbi su questa materia perche non mi piace imparare a memoria...

Ora vi illustro la dimostrazione della domanda "per quali valori di x il metodo di newton coverge"...
sono solo formule e non si capisce un cavolo, e se volessi spiegarlo a parole non so proprio da dove partire...

Sia \( \displaystyle {I}_{\alpha} \) un intorno di \( \displaystyle \alpha \) tale che:

\( \displaystyle \max_{{{x},{y}\in{I}_{\alpha}}}{\left(\frac{{1}}{{2}}\frac{{{{f}}^{{2}}{\left({x}\right)}}}{{{{f}}^{{1}}{\left({y}\right)}}}\right)}={M} \) (inteso come derivata seconda al numeratore e derivata prima al denominatore)

Primo passo:
\( \displaystyle \frac{{{\left|{{e}}^{{{\left({1}\right)}}}\right|}}}{{{{\left|{{e}}^{{{\left({0}\right)}}}\right|}}^{{2}}}}\lt{M} \)
\( \displaystyle {\left|{{e}}^{{{\left({1}\right)}}}\right|}\lt{M}{\left({\left|{{e}}^{{{\left({0}\right)}}}\right|}\right)}{2} \)
al passo k-esimo:
\( \displaystyle {\left|{{e}}^{{{\left({k}\right)}}}\right|}\lt{M}{{\left({\left|{{e}}^{{{\left({k}-{1}\right)}}}\right|}\right)}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {\left({M}{\left|{{e}}^{{{\left({k}\right)}}}\right|}\right)}\lt{\left({M}{\left|{{e}}^{{{\left({k}-{1}\right)}}}\right|}\right)} \)
\( \displaystyle {{\left({M}{\left|{{e}}^{{{\left({k}-{2}\right)}}}\right|}\right)}}^{{{2}}}^{2}\lt\ldots\ldots\ldots\lt{{\left({M}{\left|{{e}}^{{{\left({0}\right)}}}\right|}\right)}}^{{{2}}}^{k} \)

Quindi:
\( \displaystyle {\left({M}{\left|{{e}}^{{{\left({k}\right)}}}\right|}\right)}\lt{{\left({M}{\left|{{e}}^{{{\left({0}\right)}}}\right|}\right)}}^{{2}}^{k} \)
\( \displaystyle {{e}}^{{{\left({k}\right)}}}\lt\frac{{{1}}}{{{M}}}{{\left({M}{\left|{{e}}^{{{\left({0}\right)}}}\right|}\right)}}^{{2}}^{k} \)
se \( \displaystyle {M}{\left({{e}}^{{{\left({0}\right)}}}\right)}\lt{1} \) allora \( \displaystyle {{e}}^{{{\left({k}\right)}}}\to_{{{k}\to\infty}}\alpha \) (non riesco a sriverlo ma dovrebbe essere e al passo k tende ad alfa quando k tende a infinito)

\( \displaystyle {{e}}^{{{\left({0}\right)}}}={{x}}^{{{\left({0}\right)}}}-\alpha\Rightarrow{\left|{{x}}^{{{\left({0}\right)}}}-\alpha\right|}\lt\frac{{1}}{{M}} \)
Converge se \( \displaystyle {{x}}^{{{\left({0}\right)}}} \) è nella regione \( \displaystyle \frac{{1}}{{M}} \)

Ragazzi aiutatemi non ci ho capito un tubio non posso semplicemente scrivere le formule senza dire nulla...
Grazie
Baci

[Fatina85]

nessuno?