Perché il prodotto vettore si fa solo in R^3?

[orazioster]

Non ha a che fare con il determinante di una matrice?
-non conosco le formalizzazioni generali di prodotto esterno; questo, che
il prodotto-vettore (in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) ) abbia a che fare con il determinante, l'ho sentito dire da un docente (tra l'altro
studioso di storia della matematica), e NON "banalmente"; come "regoletta formale"...

I pensieri che ora riporto sono miei, eh? da "non conoscitore"...:

In \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \), avendo n-1 vettori come righe di una matrice, abbiamo:
.) determinante nullo se due (o più) di essi sono linearmente dipendenti;
.) antisimmetria: per una permutazione dispari di righe si ha un cambiamento di segno.
.) se gli n-1 vettori sono linearmente indipendenti, abbiamo un complemento ortogonale ad essi di dimensione 1 che
ha equazione cartesiana esattamente uguale al determinante della matrice che abbia gli n-1 vettori, e la n-pla di coordinate generiche come righe (o colonne...).

Tutto ciò vale per il prodotto-vettore in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) , e non mi sembra un caso.

Ora, non riesco proprio a ricordare in quale
occasione quel mio docente ebbe a dire del determinante e prodotto-vettore!

Lo so che indicare il p.v. in esplicitamente come
determinante è un abuso di notazione.
Si può invece formalizzare usando il simbolo di Levi-Civita (generalizzato)


\( \displaystyle {e}_{{{i},{j},{k},\ldots,{n}}}= \)
= +1 se (j,k,l,...,n) è una permutazione pari di (1,2,3,...,N),
= -1 se dispari,
= 0 se due indici sono uguali;

(scusatemi, questa non sono proprio riuscito a scriverla!).

Così questo "prodotto" tra n-1 vettori, la cui immagine sia un vettore,
può venir scritto:
\( \displaystyle \epsilon_{{{i},{j},{k},\ldots,{n}}}{x}_{{{1},{j}}}{x}_{{{2},{k}}}{x}_{{{3},{l}}}\ldots{x}_{{{N},{n}}}{e}_{{{i}}} \);
dove \( \displaystyle {x}_{{{b},{m}}} \) è l'm-esima componente del vettore \( \displaystyle {\vec{{{x}_{{b}}}}} \),ed \( \displaystyle {\left({e}_{{i}}\right)} \) è l'i-esimo versore
di una n-pla ortonormale di base.

questa operazione è compiuta effettivamente, ed è considerato
il modulo di quel vettore, come ...eh! non so come chiamarlo;
"elemento di iperarea" di una "ipersuferficie"?

Scusate l'esposizione alquanto "frammentaria", come a me stesso sembra: riportavo
osservazioni mie. Semplicemente facendo considerazioni...