Perché il prodotto vettore si fa solo in R^3?

[dissonance]

Sto approfondendo un po' alcune questioni di calcolo vettoriale e mi è venuta in mente una vecchia domanda a cui non ho mai saputo rispondere: perché il prodotto vettore si definisce solo in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) e non in uno spazio \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) qualsiasi?

Posto qui perché sospetto che il vero motivo di questo fatto sia in qualche meccanismo algebrico che non riesco a capire, probabilmente collegato con il gruppo \( \displaystyle \text{SO}{\left({3}\right)} \) delle rotazioni. Non sarà certamente un caso che il prodotto dei numeri complessi assomigli così al prodotto vettore.
E poi ho una vaga reminescenza del mio professore di Algebra che cita la questione a proposito del gruppo dei quaternioni, e delle estensioni di campo di \( \displaystyle \mathbb{R} \)...

Qualcuno mi sa aiutare (mi va benissimo un livello divulgativo)?

[amel]

Da quel che mi risulta la definizione di prodotto vettoriale (o esterno) in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) esiste. Solo che ha senso se coinvolge \( \displaystyle {n}-{1} \) vettori (ad esempio, in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) si fa il classico prodotto vettoriale tra \( \displaystyle {3}-{1}={2} \) vettori; in generale in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) il prodotto vettoriale avviene tra \( \displaystyle {n}-{1} \) vettori). Un modo possibile per approfondire il ragionamento consiste nel ricorrere a concetti legati alla definizione di algebra esterna.
Non saprei, però, dare delle giustificazioni puramente divulgative, nè comunque vorrei cadere in grosse castronerie.
Beh, vediamo cosa ci raccontano i grandi del forum.

[adaBTTLS]

non so, ma penso che dipenda dalla definizione geometrica: perpendicolare al piano individuato dai due vettori, in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) la "terza" dimensione è ben definita, in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \) il vettore potrebbe appartenere, immagino, a qualsiasi direzione del sottospazio di dimensione \( \displaystyle {n}-{2} \) ...
... forse!
aspettiamo di sentire altri pareri. ciao.

[ViciousGoblin]

La risposta va cercata nelle forme differenziali (di cui non mi ricordo molto per cui un geometra saprebbe aiutarti meglio)
Le parole chiave dovrebbero essere :
- le 1-forme si possono identificare con i vettori
- il prodotto di una k-forma e di una h-forma e' una (k+h)-forma
- c'e' una dualita' tra le \( \displaystyle {k} \) forme e le \( \displaystyle {\left({n}-{k}\right)} \)-forme; in particolare
le (n-1) -forme di nuovo individuano un vettore (che ha a che fare con l'idea di normale)

In \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \) il prodotto di due vettori individua una due-forma a cui si associa un vettore.
Per fare lo stesso in \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{n}} \), come ha detto amel bisogna partire da \( \displaystyle {n}-{1} \) vettori.
Se invece moltiplichi due vettori trovi una \( \displaystyle {2} \) forma che in generale e' un oggetto avente \( \displaystyle {\left(\matrix{{n}\\{2}}\right)} \) componenti.

Il tutto suonera' molto vago ma e' la direzione in cui bisognerebbe guardare

[dissonance]

Certo, quanto mi dite tutti e tre mi convince. Mi viene in mente una riflessione che però non ho proprio gli strumenti per portare avanti:

Guardate un po' questa definizione di prodotto vettore (che ho letto sullo Stoka Corso di geometria, cito a memoria):

Sia \( \displaystyle {V} \) uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3 e \( \displaystyle {i},{j},{k} \) una base ortonormale. Esiste un'unica applicazione bilineare alternante \( \displaystyle \times:{V}\times{V}\to{V} \) tale che:
\( \displaystyle {i}\times{j}={k} \);
\( \displaystyle {j}\times{k}={i} \);
\( \displaystyle {k}\times{i}={j} \). [Le altre combinazioni restano definite per via dell'antisimmetria: ad esempio \( \displaystyle {j}\times{i}=-{k} \). Successivamente si dimostra che questa definizione dipende solo dall'orientazione della base e poi le proprietà usuali del prodotto vettore.]

Mi pare ci sia lo zampino dei quaternioni di Hamilton. Senza contare l'assonanza che c'è tra prodotto vettore e rotazioni di \( \displaystyle {\mathbb{R}}^{{3}} \), fatto che invece ricorda paurosamente il prodotto dei numeri complessi. E queste sono tutte estensioni di campo di \( \displaystyle \mathbb{R} \).

Ma si va da qualche parte approfondendo il discorso sulle estensioni di campo? Le analogie che mi pare di notare puntano a qualcosa di profondo o sono solo combinazioni?

[apatriarca]

Non sono coincidenze (in effetti l'azione dei quaternioni su R^3 si può interpretare come rotazioni intorno ad un asse), ma non credo che la strada giusta da seguire per approfondire siano le estensioni di campi (i quaternioni di Hamilton non sono una estensione di \( \displaystyle \mathbb{R} \) non essendo neanche un campo). Ma cosa ti piacerebbe approfondire esattamente? In questa discussione ci sono tanti spunti che portano in direzioni molto diverse.

[Fioravante Patrone]

Il mio naso punta in direzione della via indicata da VG.
Anche perché mi ero chiesto anch'io qualcosa di simile alla domanda di dissonance, illo tempore, e mi sembra proprio che la risposta che mi ero dato derivasse dalle forme differenziali, nel senso indicato da VG: una coincidenza accidentale, una congiunzione astrale che si verifica per n=3.

[GIBI]

... non è più semplice chiedere a wikipedia (inglese)? in questo caso è una buona base di partenza.

[Fioravante Patrone]

http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_prod ... or_product

ma wiki è fonte secondaria, qui abbiamo le fonti primarie

[dissonance]

Comunque sulla pagina di Wikipedia inglese ho trovato delle risposte al discorso sui quaternioni di cui sopra, qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_prod ... _octonions
e poi qui
http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dime ... ss_product
Si tratta però di un fatto molto più complicato di come lo stavo mettendo io e rende tutto molto dispersivo.