Permutazioni e Gruppi

[furlan]

Ciao a tutti...

Ho questo esercizio:

Elencare tutte le permutazioni pari e tutte le permutazioni dispari
di S3 .

Ora con la notazione a tabella ho scritto tutte le 6 permutazioni di Sn...

Come posso procedere ora?

[blackbishop13]

Conosci la definizione di permutazione pari e dispari?
se sì, non ti serve altro che applicare la definizione ad ogni singola permutazione.
se no, cercala, o chiedi.

[furlan]

Ogni permutazioni è un prodotto di scambi giusto?
e,il numero di scambi di una permutazione mi dice se è pari o dispari...

[misanino]

Una trasposizione è una permutazione di 2 elementi (penso che sia questo che tu chiami scambio)
e ogni permutazione è prodotto di trasposizioni.
Se il numero di trasposizioni è pari, la permutazione si dice pari.
Se è dispari, si dice dispari.
Così ad esempio (12) è dispari e (123)=(13)(23) è pari.
Nota che il modo in cui scrivere una permutazione come prodotto di trasposizioni non è unico! Però il numero di tali trasposizioni rimane sempre pari o dispari.
Ad esempio posso vedere (12) come (12) o come (23)(13)(23) che sono 2 scritture diverse ma il numero di trasposizioni è sempre dispari

[angus89]

mmmm....più che scambi si chiamano trasposizioni.

Le trasposizioni sono permutazioni di due elementi.
C'è un teorema che dice che ogni permutazione può esser scritta come prodotto di trasposizioni.

Se il numero delle trasposizioni è pari allora la permutazione è pari, altrimenti la permutazione è dispari

Esempio
(1,2,3)=(1,3)(1,2)
Quindi è pari

NB: tutti i tricicli sono permutazioni pari

NB:si può dimostrare che tutti le permutazioni pari sono tricicli oppure prodotto di tricicli

[furlan]

Ok,ciò che avete appena detto sono teoremi che già conosco e ho studiato.
Ma non riesco a tradurre questo nello svolgere l'esercizio.
Cioè,non riesco a capire come svolgerlo...

[misanino]

Va bene.
Cerchiamo un po' di semplificare e arrivare al sodo.
Classifichiamo tutti i k-cicli.
Ad esempio (12) è un 2-ciclo.
(123) è un 3-ciclo.
D'accordo?
Ora se ho un k-ciclo dove k è pari, allora la permutazione è dispari. Quindi (12) è un 2-ciclo e quindi è dispari
Se ho un k-ciclo dove k è dispari, allora la permutazione è pari. Quindi (123) è un 3-ciclo e quindi è pari

[adaBTTLS]

@ angus89
mi pareva di ricordare che (132) fosse dispari.

@ furlan
in fondo sono solo 6 permutazioni: prova a prenderne una e vediamo come faresti a classificarla: ad esempio questa che ho appena scritto in riferimento ad angus89 quante trasposizioni contiene? ti consiglio di scriverla nella forma \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{2}&{3}\\{3}&{1}&{2}}\right)} \). è più chiaro?

[furlan]

\( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{2}&{3}\\{1}&{3}&{2}}\right)} \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{2}&{3}\\{2}&{1}&{3}}\right)} \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{2}&{3}\\{3}&{1}&{2}}\right)} \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{2}&{3}\\{3}&{2}&{1}}\right)} \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{2}&{3}\\{1}&{2}&{3}}\right)} \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}&{2}&{3}\\{2}&{3}&{1}}\right)} \)


Ok?

[misanino]

Queste sono tutte le permutazioni di \( \displaystyle {S}_{{3}} \)
Ora distinguile fra pari e dispari