Perplessità integrazione con Cavalieri-Simpson

[Saph]

Salve ragazzi,
l'altro giorno, mentre implementavo l'algoritmo per l'approssimazione di integrali con le formule composte di Cavalieri-Simpson ho notato una cosa strana: l'algoritmo chiaramente vale solo se il numero \( \displaystyle {m} \) di intervalli è pari:
\( \displaystyle {I}=\frac{{h}}{{3}}\cdot{\left({f{{\left({x}_{{0}}\right)}}}+{f{{\left({x}_{{n}}\right)}}}+{4}\cdot{\sum_{{{k}={1}}}^{{m}}}{f{{\left({x}_{{0}}+{\left({2}{k}-{1}\right)}{h}\right)}}}+{2}\cdot{\sum_{{{k}={1}}}^{{{m}-{1}}}}{f{{\left({x}_{{0}}+{2}{k}{h}\right)}}}\right)} \)
con \( \displaystyle {h}=\frac{{{b}-{a}}}{{m}} \).
Quello che ho notato (sperimentalmente) è che se il numero di intervalli è dispari è possibile ottenere il valore dell'integrale semplicemente scambiando i coefficenti dei termini pari e dei termini dispari, ovvero scrivendo:
\( \displaystyle {I}=\frac{{h}}{{3}}\cdot{\left({f{{\left({x}_{{0}}\right)}}}+{f{{\left({x}_{{n}}\right)}}}+{2}\cdot{\sum_{{{k}={1}}}^{{m}}}{f{{\left({x}_{{0}}+{\left({2}{k}-{1}\right)}{h}\right)}}}+{4}\cdot{\sum_{{{k}={1}}}^{{{m}-{1}}}}{f{{\left({x}_{{0}}+{2}{k}{h}\right)}}}\right)} \)

Qualcuno gentilmente può darmi la giustificazione matematica di ciò?