Perplessità su Permutazioni

[Ascoth]

Cercando esercizi vari su questo argomento mi sono imbattuto in questo e vorrei una mano nel capire (o anche se dico fesserie in qualche punto):

Siano dati i seguenti elementi di \( \displaystyle {S}_{{16}} \):

\( \displaystyle \sigma \) = (1,7,13,9,2)(3,8,4)(5,11,12,6,10,15,14,16)
\( \displaystyle \tau \) = (14,10,12,5)(8, 4,3)(15,6,11,16).

(a) Determinare <\( \displaystyle \sigma \)> \( \displaystyle \cap \) <\( \displaystyle \tau \)>.
(b) Determinare, se possibile, un sottogruppo di \( \displaystyle {S}_{{16}} \) avente ordine 24 e
contenente <\( \displaystyle \sigma \)> \( \displaystyle \cap \) <\( \displaystyle \tau \)>

Ora se ben ho capito per (a) si tratta soltanto di selezionare i cicli comuni ai 2 insiemi quindi (8, 4,3)(15,6,11,16)
Quanto a (b) credo di poter usare la formula apposita \( \displaystyle \frac{{n}}{{{M}{C}{D}{\left({n},{k}\right)}}} \).
Con n = 16 e k = 0...15
Li dove il risultato mi darà 24 avrò il sottogruppo di \( \displaystyle {S}_{{16}} \) di ordine 24 come richiesto?

[j18eos]

Benvenut*;

due fesserie le hai scritte: la prima è che ti sei riferito a quelle permutazioni come insiemi, la seconda è che hanno un solo ciclo in comune!

Per il punto (a) inizierei a capire quali sono i loro periodi.

[sara91]

Ciao, stavo svolgendo anch'io quest'esercizio e anch'io ho trovato quache difficoltà... Ho calcolato i periodi delle due permutazioni, ottenendo che \( \displaystyle \sigma \) ha periodo 120, mentre \( \displaystyle \tau \) ha periodo 12. Questo quindi vuol dire che \( \displaystyle \lt\sigma\gt \) ha 120 elementi, mentre \( \displaystyle \lt\tau\gt \) ne ha 12. Per determinare \( \displaystyle {\left\langle\sigma\right\rangle}\cap{\left\langle\tau\right\rangle} \) ho notato che \( \displaystyle \tau \) lascia fissi \( \displaystyle {\left\lbrace{1},{2},{7},{9},{13}\right\rbrace} \) e questo in \( \displaystyle \lt\sigma\gt \) avviene con \( \displaystyle {\sigma}^{{5}} \). Con questo ragionamento arrivo a dire che \( \displaystyle {\left\langle\sigma\right\rangle}\cap{\left\langle\tau\right\rangle} \) = \( \displaystyle \lt{\sigma}^{{5}}\gt\cap\lt\tau\gt \) . Ora però noto anche che \( \displaystyle \tau \) manda l'insieme \( \displaystyle {\left\lbrace{14},{10},{2},{5}\right\rbrace} \) in sè, quindi cerco le potenze di \( \displaystyle {\sigma}^{{5}} \) con la stessa proprietà, e osservo che questo avviene con \( \displaystyle {\sigma}^{{10}} \). Quindi \( \displaystyle {\left\langle\sigma\right\rangle}\cap{\left\langle\tau\right\rangle} \) = \( \displaystyle \lt{\sigma}^{{10}}\gt\cap\lt\tau\gt \) . Con luuunghi ( ) calcoli trovo che \( \displaystyle \tau\in\lt{\sigma}^{{10}}\gt \) e quindi \( \displaystyle \lt\tau\gt \) è sottogruppo di \( \displaystyle \lt{\sigma}^{{10}}\gt \) ma poichè i due hanno la stessa cardinalità il risutato finale è che \( \displaystyle \lt\sigma\gt\cap\lt\tau\gt=\lt{\sigma}^{{10}}\gt\cap\lt\tau\gt=\lt\tau\gt \) !
Credo sia corretto così, ora per il punto b serve una mano anche a me

[francicko]

x@sara91. Potrei benissimo avermi sbagliato, in quanto conosco ancora poco l'argomento permutazioni, ma a me l'intersezione risulta un pò diversa!
Sappiamo che il periodo(ordine) di una permutazione (espressa in cicli disgiunti) é il \( \displaystyle {m}.{c}.{m} \) delle lunghezze dei suoi cicli.
Pertanto si deduce che \( \displaystyle {\sigma}^{{120}}={I} \) cioè \( \displaystyle \lt\sigma\gt \) ha \( \displaystyle {120} \) elementi distinti;
Inoltre \( \displaystyle {\tau}^{{12}}={I} \) cioè \( \displaystyle \lt\tau\gt \) ha \( \displaystyle {12} \) elementi distinti.
Sin qua ok!
Ho cancellato il resto in quanto era errato, credo che la soluzione \( \displaystyle \lt\sigma\gt\cap\lt\tau\gt \)\( \displaystyle =\lt\tau\gt \) sia giusta!