Piani cartesiani

[agnellone]

siano dati i punti A(0,0) B (0,2) C (x,0) . Determinare sull'asse delle x un punto C in modo tale che il triangolo ABC abbia perimentro uguale a 6+2`sqrt5`


allora io ho risolto calcolando la distaza di AB= 2 BC= `sqrt4+x^2`tutto sotto la stessa radice (non sono molto pratico del linuaggio ) CA= x

ho scrito l'equazione


2+`sqrt4+x^2`+ x = 6+2`sqrt5`

4+`x^2`+4+ `x^2`=36+20

8+`2x^2`= 56

`x^2`= 24

x = +- `sqrt24`

ma non è questa la soluzione in quanto sul libro mi da +4 e -4

[nicola de rosa]

siano dati i punti A(0,0) B (0,2) C (x,0) . Determinare sull'asse delle x un punto C in modo tale che il triangolo ABC abbia perimentro uguale a 6+2`sqrt5`


allora io ho risolto calcolando la distaza di AB= 2 BC= `sqrt4+x^2`tutto sotto la stessa radice (non sono molto pratico del linuaggio ) CA= x

ho scrito l'equazione


2+`sqrt4+x^2`+ x = 6+2`sqrt5`

4+`x^2`+4+ `x^2`=36+20

8+`2x^2`= 56

`x^2`= 24

x = +- `sqrt24`

ma non è questa la soluzione in quanto sul libro mi da +4 e -4

Innanzitutto queste sono le distanze:
\( \displaystyle {\overline{{{A}{B}}}}={2},{\overline{{{A}{C}}}}=\sqrt{{{{x}}^{{2}}}}={\left|{x}\right|},{\overline{{{B}{C}}}}=\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{4}}} \), quindi
\( \displaystyle {2}+{\left|{x}\right|}+\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{4}}}={6}+{2}\sqrt{{{5}}}\to\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{4}}}+{\left|{x}\right|}={4}+{2}\sqrt{{{5}}} \)
Ora ragiona separando i due casi \( \displaystyle {x}\gt{0}\to{\left|{x}\right|}={x} \) e \( \displaystyle {x}\lt{0}\to{\left|{x}\right|}=-{x} \)

Poi elevi al quadrato ma non come hai fatto tu, che hai elevato al quadrato ogni singolo addendo, devi fare il quadrato del primo membro e del secondo membro.

[agnellone]

Qundi sarebbe

\( \displaystyle ` \)x^2\( \displaystyle `+{4}+` \)x^2\( \displaystyle `={16}+{20} \)

\( \displaystyle ` \)2x^2\( \displaystyle `=-{4}+{36} \)

\( \displaystyle ` \)x^2\( \displaystyle `={16} \)

\( \displaystyle {x}=+{4} \)

\( \displaystyle {x}=-{4} \)

[nicola de rosa]

Qundi sarebbe

\( \displaystyle ` \)x^2\( \displaystyle `+{4}+` \)x^2\( \displaystyle `={16}+{20} \)

\( \displaystyle ` \)2x^2\( \displaystyle `=-{4}+{36} \)

\( \displaystyle ` \)x^2\( \displaystyle `={16} \)

\( \displaystyle {x}=+{4} \)

\( \displaystyle {x}=-{4} \)

scrivi delle baggianate
allora se \( \displaystyle {x}\gt{0} \) allora si ha
\( \displaystyle \sqrt{{{{x}}^{{2}}+{4}}}+{x}={4}+{2}\sqrt{{{5}}}\to\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{4}}}={4}+{2}\sqrt{{{5}}}-{x} \) ed elevando al quadrato si ha:
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{4}={{\left({4}+{2}\sqrt{{{5}}}-{x}\right)}}^{{2}} \) da cui ricavi \( \displaystyle {x}={4} \) accettabile.
se \( \displaystyle {x}\lt{0} \) allora si ha
\( \displaystyle \sqrt{{{{x}}^{{2}}+{4}}}-{x}={4}+{2}\sqrt{{{5}}}\to\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{4}}}={4}+{2}\sqrt{{{5}}}+{x} \) ed elevando al quadrato si ha:
\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{4}={{\left({4}+{2}\sqrt{{{5}}}+{x}\right)}}^{{2}} \) da cui ricavi \( \displaystyle {x}=-{4} \) accettabile.

quindi \( \displaystyle {x}=\pm{4} \)

[agnellone]

Quindi è solo un caso che riesca nel modo in cui ho fatto io.

Scusami ma perchè non si eleva ogni singonolo termine ??

[Steven]

Tanto di cappello per la fortuna che hai avuto, ovvero nonostante il procedimento sbagliato hai avuto un risultato "soddisfacente"
Comunque non dimenticare che se elevi un intero membro, non basta elevare alla potenza tutti i termini, ma devi applicare le note regole a seconda che il membro sia un monomio, binomio, trinomio... mi raccomando non so come potrebbe reagire un'insegnante di matematica di fronte a un errore simile. Ciao

[agnellone]

Quindi

\( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{4}={{\left({4}+{2}\sqrt{{{5}}}-{x}\right)}}^{{2}} \)

sarebbe

\( \displaystyle {4}+{{x}}^{{2}}={16}+{{x}}^{{2}}+{20}+{16}\sqrt{{{5}}}-{8}{x}-{4}\sqrt{{{5}}}{x} \)


Non mi è mai capitato e dico mai ,di trovarmi di fronte ad un errore simile da parte mia.

Non li ho considerati come trinomi o binomi in quanto sono legato come uno stupido alle parentesi.

Se avessi avuto \( \displaystyle {{\left(\sqrt{{{{x}}^{{2}}+{4}}}\right)}}^{{2}}={{\left({4}+{2}\sqrt{{{5}}}-{x}\right)}}^{{2}} \) non avrei sbagliato .