Piano appartenente al fascio

[Morris0191]

Ciao ragazzi mi potreste aiutare con questo esercizio?

Determinare, se possibile, un piano appartenente al fascio avente per asse la retta r:

r:\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}={1}+{t}\\{y}={2}{t}\\{z}={1}-{3}{t}}\right.} \)

ed ortogonale alla retta s:

s:\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{x}+{y}-{z}+{2}={0}\\{3}{x}+{5}{y}={0}}\right.} \)

.....non so come impostarlo

[prime_number]

Inizia trovando i vettori direzione delle rette e poi ragiona sulla posizione che dovrebbero avere nello spazio rispetto al piano incognito.
Ricorda inoltre la seguente regola: il vettore \( \displaystyle {\left({a},{b},{c}\right)} \) è perpendicolare al piano \( \displaystyle {a}{x}+{b}{y}+{c}{z}+{d}={0} \) per qualunque \( \displaystyle {d} \).

Paola

[Morris0191]

dunque.. la retta \( \displaystyle {s} \) è perpendicolare al piano \( \displaystyle \pi \) se essa è parallela alla retta \( \displaystyle {r} \), quindi anche i vettori direzione devono essere paralleli tra loro e per essere tali devono essere proporzionali cioè \( \displaystyle {u}_{{s}}=\lambda{u}_{{r}} \)

I parametri di \( \displaystyle {s} \) sono questi \( \displaystyle {u}_{{s}}={\left(\frac{{5}}{{2}},-\frac{{3}}{{2}},{1}\right)} \) ..... ma non sono proporzionali tra loro :'(

[Solidus91]

Anche io ho la stessa tipologia di esercizio, ma non riesco a venirne a capo.
Trovo l'equazione parametrica di s, dopodichè trovo i vettori direzionali.
Sicuramente r non è parallelo ad s, perchè i vettori non sono proporzionali.

[filippo92]

Scusate ma non basta trovare prima l'equazione cartesiana della retta r, impostando ad esempio \(t=1/2y\)? Poi trovare il fascio di piani per r? Perchè il piano \( \displaystyle \pi \)\(=ax+by+cz+d=0\) sia perpendicolare ad s dovrà avere \(a=l\), \(b=m\), \(c=n\), cioè ai parametri direttori della retta s.

[Solidus91]

Si, anche io sono (spero) giunto alla conclusione che il piano, per essere ortogonale, deve avere gli stessi param. direttori di \(\displaystyle s \).
\(\displaystyle (5/2)x - (3/2)y + z =d \)

Ho poi provato a prendere un punto \(\displaystyle (1,0,1) \) appartenente ad r e a sostituirlo nell'eq. del piano, ricavandomi la \(\displaystyle d \)

Sostituisco poi la \(\displaystyle d \) nella solita equazione del piano.

Solamente, non so se ciò che ho trovato corrisponde a ciò che cerco.
Che dite?

[Geppo]

Mi sembra che il problema non abbia soluzioni. Condizione necessaria perchè un piano del fascio(con asse r) sia perpendicolare a s è che r e s siano perpendicolari.

Si, anche io sono (spero) giunto alla conclusione che il piano, per essere ortogonale, deve avere gli stessi param. direttori di s.
\( \displaystyle {\left(\frac{{5}}{{2}}\right)}{x}−{\left(\frac{{3}}{{2}}\right)}{y}+{z}={d} \)

Ho poi provato a prendere un punto \( \displaystyle {\left({1},{0},{1}\right)} \) appartenente ad r e a sostituirlo nell'eq. del piano, ricavandomi la \( \displaystyle {d} \)

Sostituisco poi la \( \displaystyle {d} \) nella solita equazione del piano.
Solamente, non so se ciò che ho trovato corrisponde a ciò che cerco.
Che dite?

La condizione di perpendicolarità ad s è assicurata. Per controllare che Il piano appartenga al fascio, prova a verificare se contiene r (sostituisci nel piano le equazioni parametriche di r).

[Solidus91]

Raga, tra prove e controprove dovrei trovarmi.
Ho usato lo stesso procedimento della tipologia di esercizio: 'Piano contenente r ed ortogonale ad s' (tanto r essendo asse è contenuto nel piano).

http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 016AAaSe1x

[Geppo]

Raga, tra prove e controprove dovrei trovarmi.
Ho usato lo stesso procedimento della tipologia di esercizio: 'Piano contenente r ed ortogonale ad s' (tanto r essendo asse è contenuto nel piano).

http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 016AAaSe1x

Non è tutto oro quel che luccica. La risposta riportata nel link non mi sembra corretta. Il piano non contiene la retta r. Provare per credere: il punto (0,1,1) è sulla retta ma non nel piano!