piano invariante

[angus89]

Ho problemi nel dare un senso alla soluzione di questo esercizio

Sia \( \displaystyle {{R}}^{{3}} \) il solito \( \displaystyle {R} \) spazio vettoriale.
sia \( \displaystyle {f} \) l'enomorfismo rappresentato dalla matrice
\( \displaystyle {\left(\matrix{{0}&{0}&{1}\\{1}&{1}&-{1}\\-{1}&{0}&-{2}}\right)} \)
Trovare un piano invariante

Svolgimento
Calcoliamo il polinomio caratteristico
\( \displaystyle {P}_{{{f}}}{\left({x}\right)}={\left({1}-{x}\right)}{{\left({1}+{x}\right)}}^{{2}} \)
Quindi per hamilton Cayley
\( \displaystyle {P}_{{{f}}}{\left({f}\right)}={0} \)
Per il teorema di decomposizione primaria abbiamo
\( \displaystyle {{R}}^{{3}}={k}{e}{r}{\left({i}{d}-{f}\right)}\oplus{k}{e}{r}{{\left({i}{d}+{f}\right)}}^{{2}} \)

Quindi troviamo

\( \displaystyle {i}{d}-{f{=}}{\left(\matrix{{1}&{0}&-{1}\\-{1}&{0}&{1}\\{1}&{0}&{3}}\right)}\Rightarrow{e}_{{2}}\in{k}{e}{r}{\left({i}{d}-{f}\right)} \)
Dunque \( \displaystyle {e}_{{2}} \) è una retta invariante

\( \displaystyle {{\left({i}{d}+{f}\right)}}^{{2}}={{\left(\matrix{{1}&{0}&{1}\\{1}&{2}&-{1}\\-{1}&{0}&-{1}}\right)}}^{{2}}={\left(\matrix{{0}&{0}&{0}\\{4}&{4}&{0}\\{0}&{0}&{0}}\right)}\Rightarrow{e}_{{3}},{e}_{{1}}-{e}_{{2}}\in{k}{e}{r}{{\left({i}{d}+{f}\right)}}^{{2}} \)

Qundi \( \displaystyle {W}={s}{p}{a}{n}{\left({e}_{{3}},{e}_{{1}}-{e}_{{2}}\right)} \) dovrebbe esser un piano invariante, ma chiramente non lo è...

[franced]

Sia \( \displaystyle {{R}}^{{3}} \) il solito \( \displaystyle {R} \) spazio vettoriale.
sia \( \displaystyle {f} \) l'enomorfismo rappresentato dalla matrice
\( \displaystyle {\left(\matrix{{0}&{0}&{1}\\{1}&{1}&-{1}\\-{1}&{0}&-{2}}\right)} \)
Trovare un piano invariante

Il polinomio caratteristico è

\( \displaystyle {p}{\left(\lambda\right)}=-{\left(\lambda-{1}\right)}\cdot{{\left(\lambda+{1}\right)}}^{{2}} \)

per avere un piano invariante è possibile, ad esempio, prendere
il sottospazio \( \displaystyle {U} \) generato da un autovettore relativo a \( \displaystyle \lambda={1} \)
e un autovettore relativo a \( \displaystyle \lambda=-{1} \):

\( \displaystyle {U}= \) Span \( \displaystyle {\left\lbrace{\left(\matrix{{0}\\{1}\\{0}}\right)}\right.} \) \( \displaystyle ; \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{1}\\-{1}\\-{1}}\right)}\rbrace \)

la cui equazione cartesiana risulta essere

\( \displaystyle {x}+{z}={0} \) .

Osservo che questo non è l'unico sottospazio invariante, ma visto che
l'esercizio ne chiede uno solo...


P.S.: l'altro piano invariante ha equazione \( \displaystyle {x}+{y}={0} \) .

[angus89]

ops...
piccolo dettaglio che ho dipenticato

se \( \displaystyle {W} \) è il piano invariante allora \( \displaystyle {f}{\mid}_{{W}} \) (\( \displaystyle {f} \) ristretto a \( \displaystyle {W} \)) non deve essere diagonalizzabile...

Piuttosto...
Come mai la mia soluzione non torna?

[franced]

ops...
piccolo dettaglio che ho dipenticato

se \( \displaystyle {W} \) è il piano invariante allora \( \displaystyle {f}{\mid}_{{W}} \) (\( \displaystyle {f} \) ristretto a \( \displaystyle {W} \)) non deve essere diagonalizzabile...

La prossima volta scrivi tutto il testo dell'esercizio!

Allora tra i due piani invarianti quello che fa al caso nostro è il secondo, ovvero quello
di equazione cartesiana \( \displaystyle {x}+{y}={0} \).

[angus89]

sisi ok
ma quello che più mi preme è capire perchè con il mio ragionamento non lo trovo
perchè non mi funziona il teorema di decomposizione primaria?

[franced]

Allora vediamo un po'..

la matrice è \( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{0}&{0}&{1}\\{1}&{1}&-{1}\\-{1}&{0}&-{2}}\right)} \)

tu dici che il piano invariante è generato dai vettori \( \displaystyle {e}_{{3}} \) e \( \displaystyle {e}_{{1}}-{e}_{{2}} \);
entrambi stanno sul piano \( \displaystyle {x}+{y}={0} \) (che è il piano che ti ho detto io).

Vediamo le immagini dei vettori \( \displaystyle {e}_{{3}} \) e \( \displaystyle {e}_{{1}}-{e}_{{2}} \):

\( \displaystyle {A}{e}_{{3}}={\left(\matrix{{1}\\-{1}\\-{2}}\right)} \)

\( \displaystyle {A}{\left({e}_{{1}}-{e}_{{2}}\right)}={\left(\matrix{{0}\\{0}\\-{1}}\right)} \)

entrambe le immagini ottenute stanno nel piano \( \displaystyle {x}+{y}={0} \), che quindi è un piano invariante.

Quindi tutto ok!


P.S.: modifica il titolo: scrivi piano invariante .