Piccola difficoltà su un problema

[flutist00]

Salve a tutti ho una piccola difficoltà con questo problema :

Il numero di quattro cifre abcd (le lettere vicine non indicano un prodotto) è formato da 4 cifre intere positive.E abcd+bcda+cdab+dabc=31108.A quanti numeri può corrispondere abcd?

Allora , io ho pensato che se incolonniamo l'addizione , otteniamo sempre a+b+c+d , e deve uscire per forza 28 perché 8 non può uscire dato che nell'addizione seguente c'è il resto , 18 nemmeno perché ci sarebbe resto uno e invece di 0 come cifra delle decine ci sarebbe 9.Non può essere nemmeno 38 per ragioni simili , quindi a+b+c+d=28.Dobbiamo trovare quindi quante combinazioni di numeri da 0 a 9 diano 28 , ma come?Tenete presente che sono ancora in quarto ginnasio quindi le mie conoscenze matematiche si fermano alle equazioni di primo grado

Grazie mille a tutti!

[piero_]

Il tuo ragionamento mi sembra esatto infatti abbiamo:
\(1000a + 100b + 10c + d + 1000b + 100c + 10d + a+ 1000c + 100d + 10a + b + 1000d + 100a + 10b + c=\)
\(1111a + 1111b + 1111c + 1111d=1111(a+b+c+d)\)
\(1111(a+b+c+d)=31108\)
da cui
\(a+b+c+d=28\)
se ciascuna delle cifre è presa una sola volta, le quaterne di numeri possibili sono:
4, 7, 8, 9
5, 6, 8, 9
quindi le possibili soluzioni sono
\(2 \cdot P_4=48\)

[imagine]

però nel problema non dice che le cifre sono distinte, quindi possono esserci anche cifre che si ripetono. e qui la cosa si complica molto

[giannirecanati]

Nel caso in cui i numeri non sono distinti il procedimento è molto schematico.
Basta assegnare ad una variabile i valori compresi tra \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle 9 \), se \(\displaystyle a=0 \) allora almeno uno tra \(\displaystyle b,c,d \) sarebbe maggiore di \(\displaystyle 10 \).
Se \(\displaystyle a=1 \) e facile notare che nessun'altra variabile può assumere il valore di \(\displaystyle 1 \). Da ora in poi assegnerò valori decrescenti alla variabile \(\displaystyle b \). Quindi se \(\displaystyle a=1 \) allora \(\displaystyle b+c+d=27 \), poniamo anzitutto \(\displaystyle b=9 \), da cui \(\displaystyle c+d=18 \Rightarrow c=b=d=9 \) e contando le permutazioni abbiamo \(\displaystyle 4 \) soluzioni (9+9+9+1). Poniamo \(\displaystyle b=8 \) ma allora almeno uno tra \(\displaystyle c \) e \(\displaystyle d \) sarà maggiore di 10.

Se \(\displaystyle a=2 \), allora \(\displaystyle b+c+d=26 \). Poniamo \(\displaystyle b=9 \) ed otteniamo \(\displaystyle c+d=17 \) da cui \(\displaystyle c=8 \) e \(\displaystyle d=9 \), se \(\displaystyle b=8 \) allora \(\displaystyle c+d=18 \) e quindi \(\displaystyle c=d=9 \), ma questa soluzione è una permutazione di quella precedente, quindi la escludiamo. La quadrupla vincente è quindi (9+9+8+2).

Se \(\displaystyle a=3 \) allora \(\displaystyle b+c+d=25 \). Poniamo \(\displaystyle b=9 \) ed otteniamo \(\displaystyle c+d=16 \), da cui \(\displaystyle c=d=8 \) oppure \(\displaystyle c=9 \) e \(\displaystyle d=7 \). Se
\(\displaystyle b=8 \) allora \(\displaystyle c+d=17 \) da cui \(\displaystyle c=8 \) ed \(\displaystyle d=9 \), ma questa è una permutazione della soluzione precedente. Se \(\displaystyle b=7 \) allora \(\displaystyle c+d=18 \) da cui \(\displaystyle c=d=9 \), permutazione delle soluzioni precedenti. Le quadruple vincenti sono (9+9+7+3) ed (9+8+8+3) per un totale di 24 soluzioni.

Se \(\displaystyle a=4 \), allora \(\displaystyle b+c+d=24 \). Poniamo \(\displaystyle b=9 \) ed otteniamo \(\displaystyle c+d=15 \) da cui \(\displaystyle c=9 \) e \(\displaystyle d=6 \) oppure \(\displaystyle c=8 \) e \(\displaystyle d=7 \). Poniamo \(\displaystyle b=8 \) ed otteniamo \(\displaystyle c+d=16 \) da cui \(\displaystyle c=d=8 \) oppure \(\displaystyle c=9 \) e \(\displaystyle d=7 \). Se \(\displaystyle b=7 \) o \(\displaystyle b=6 \) vi risparmio i conti perché si ottengono le permutazioni delle soluzioni precedenti. Le quadruple vincenti sono (8+8+8+4),(9+8+7+4),(9+9+6+4).

Se \(\displaystyle a=5 \), allora \(\displaystyle b+c+d=23 \). Poniamo \(\displaystyle b=9 \) ed otteniamo \(\displaystyle c+d=14 \) da cui \(\displaystyle c=d=7 \), \(\displaystyle c=8 \) e \(\displaystyle d=6 \), \(\displaystyle c=9 \) e \(\displaystyle d=5 \). Pongo \(\displaystyle b=8 \) ed ottengo \(\displaystyle c+d=15 \) da cui \(\displaystyle c=9 \) e \(\displaystyle d=6 \) oppure \(\displaystyle c=8 \) e \(\displaystyle d=7 \). Se \(\displaystyle b=7,6,5 \) si ottengono permutazioni delle soluzioni precedenti, le quadruple sono allora: (9+7+7+5),(9+8+6),(9+9+5+5),(8+8+7+5).

Se \(\displaystyle a=6 \), allora \(\displaystyle b+c+d=22 \). Poniamo \(\displaystyle b=9 \) ed otteniamo \(\displaystyle c+d=13 \) da cui \(\displaystyle c=6 \) e \(\displaystyle d=7 \), \(\displaystyle c=8 \) e \(\displaystyle d=5 \), o \(\displaystyle c=9 \) e \(\displaystyle d=4 \). Poniamo \(\displaystyle b=8 \) ed otteniamo \(\displaystyle c+d=14 \) da cui \(\displaystyle c=d=7 \), \(\displaystyle c=8 \) e \(\displaystyle d=6 \), \(\displaystyle c=9 \) e \(\displaystyle d=5 \). Se invece \(\displaystyle b=7,6,5,4 \) si ottengono permutazioni. Le quadruple sono: (9+6+7+6),(9+8+5+6),(9+9+4+6),(8+8+6+6),(8+7+7+6).

Se \(\displaystyle a=7 \), allora \(\displaystyle b+c+d=21 \). Poniamo \(\displaystyle b=9 \) ed otteniamo \(\displaystyle c+d=12 \), da cui le coppie \(\displaystyle (c,d)=(6,6)(7,5)(8,4)(9,3) \). Poniamo \(\displaystyle b=8 \) ed otteniamo \(\displaystyle c+d=13 \) le cui coppie \(\displaystyle (c,d)=(6,7)(8,5)(9,4) \). Se \(\displaystyle b=7 \), allora le coppie sono \(\displaystyle (c,d)=(7,7)(8,6)(9,5) \). Se \(\displaystyle b=6,5,4,3 \) si ottengono permutazioni. Le quadruple sono (9+6+6+7),(9+7+5+7),(9+3+9+7),(8+7+4+9),(8+7+6+7),(8+8+5+7),(7+7+7+7).

Ok da adesso riporto solo le quadruple visto che il ragionamento è lo stesso. Se \(\displaystyle a=8 \) allora le quadruple sono (9+6+5+8),(7+4+9+8),(8+3+9+8),(9+2+9+8),(6+6+8+8),(7+5+8+8),(8+4+8+8).
Se \(\displaystyle a=9 \) allora le quadruple sono (5+5+9+9),(6+4+9+9),(7+3+9+9),(8+2+9+9),(9+9+9+1),(6+5+8+9),(7+4+8+9),(8+3+8+9),(6+6+7+9),(7+5+7+9).

[giannirecanati]

Adesso dobbiamo escludere tra le soluzioni trovate quali sono permutazioni le riporto tutte per comodità:
(9+9+9+1),(9+9+8+2),(9+9+7+3),(9+8+8+3),(8+8+8+4),(9+8+7+4),(9+9+6+4),(9+7+7+5),(9+8+6+5),(9+9+5+5),(8+8+7+5),(9+6+7+6),(9+8+5+6),(9+9+4+6),(8+8+6+6),(8+7+7+6),(9+6+6+7),(9+7+5+7),(9+3+9+7),(8+7+4+9),(8+7+6+7),(8+8+5+7),(7+7+7+7), (9+6+5+8),(7+4+9+8),(8+3+9+8),(9+2+9+8),(6+6+8+8),(7+5+8+8),(8+4+8+8),(5+5+9+9),(6+4+9+9),(7+3+9+9),(8+2+9+9),(9+9+9+1),(6+5+8+9),(7+4+8+9),(8+3+8+9),(6+6+7+9),(7+5+7+9).

Le buone sono soltanto:
(9+9+9+1), (9+9+8+2), (9+9+7+3), (9+8+8+3), (8+8+8+4), (9+8+7+4), (9+9+6+4), (9+7+7+5), (9+8+6+5), (9+9+5+5), (8+8+7+5), (9+6+7+6), (9+9+4+6), (8+8+6+6),(8+7+7+6), (9+6+6+7),(9+3+9+7), (7+7+7+7) e permutazioni.

[flutist00]

Avevo provato qualcosa di simile , ma speravo ci fosse un modo di trovarle più veloce , vabbè grazie mille!!!Siete sempre d'aiuto

[giannirecanati]

Il problema da dove è preso?

[flutist00]

E' preso da una rivista ungherese , il Komal , che ogni mese propone problemi ai ragazzi delle scuole superiori.Cerca su google "komal problems" e li trovi tutti , in inglese ovviamente.