!
Ho solo un dubbio sul tuo ragionamento, dimmi se ho capito bene:
\( \displaystyle {1}\) \) Ci sono varie regioni distinte con area di \( \displaystyle {b} \) tasselli in una regione con area pari ad \( \displaystyle {a} \) tasselli, e tu le hai enumerate; chiamiamo queste regioni \( \displaystyle {B}_{{1}} \), \( \displaystyle {B}_{{2}} \),...,\( \displaystyle {B}_{{i}} \),... e concentriamoci su una sola di esse.
\( \displaystyle {2}\) \) Intanto tutte le \( \displaystyle {n} \) goccie devono cadere in essa
\( \displaystyle {3}\) \) Inoltre tutti gli elementi di una tra le varie possibili sequenze di \( \displaystyle {b} \) goccie (che tu hai anche qui enumerato)...
\( \displaystyle {4}\) \) Devono cadere sull'asciutto per riempire l'area
Poi tu hai moltiplicato quanto hai trovato ai punti \( \displaystyle {1}\) \), \( \displaystyle {2}\) \), \( \displaystyle {3}\) \) e \( \displaystyle {4}\) \).
Ecco il mio dubbio: Il prodotto di quanto trovato ai punti \( \displaystyle {2}\) \), \( \displaystyle {3}\) \) e \( \displaystyle {4}\) \), ovvero:
\( \displaystyle {\left[{{\left(\frac{{b}}{{a}}\right)}}^{{n}}\right]}\cdot{\left[\frac{{{b}!}}{{{{\left({b}\right)}}^{{b}}}}\right]}\cdot{\left[\frac{{{n}!}}{{{\left({b}!\right)}\cdot{\left({\left({n}-{b}\right)}!\right)}}}\right]} \)
Dovrebbe rappresentare la probabilità che le \( \displaystyle {n} \) goccie cadano non più su una GENERICA area composta di \( \displaystyle {b} \) tasselli, ma su una in particolare, ad esempio la \( \displaystyle {B}_{{i}} \).
Quindi moltiplicare quasta probabilità per \( \displaystyle \frac{{{a}!}}{{{\left({b}!\right)}\cdot{\left({\left({a}-{b}\right)}!\right)}}} \) significa, credo, considerare gli eventi "le goccie bagnano \( \displaystyle {B}_{{1}} \)", "le goccie bagnano \( \displaystyle {B}_{{2}} \)" ecc... come indipendenti.
Infatti, immaginiamo (anche se non è così) di avere solo due possibili aree \( \displaystyle {B}_{{1}} \) e \( \displaystyle {B}_{{2}} \)... allora
\( \displaystyle {F}{\left({n},{b},{a}\right)}={P}{\left({B}_{{1}}\cup{B}_{{2}}\right)}={P}{\left({B}_{{1}}\right)}+{P}{\left({B}_{{2}}\right)}-{P}{\left({B}_{{1}}\cap{B}_{{2}}\right)}={2}\cdot{P}{\left({B}_{{1}}\right)}-{P}{\left({B}_{{1}}\cap{B}_{{2}}\right)} \)
Che è uguale a \( \displaystyle {2}\cdot{P}{\left({B}_{{1}}\right)} \) solo se \( \displaystyle {P}{\left({B}_{{1}}\cap{B}_{{2}}\right)}={0} \)... Qui secondo me è corretto, perché per tu intendi come evento "le goccie bagnano SOLO \( \displaystyle {B}_{{1}} \) e NIENT'ALTRO" quindi è impossibile che bagnino sia \( \displaystyle {B}_{{1}} \) che \( \displaystyle {B}_{{2}} \).
Dopo invece fai una ragionamento analogo: ti concentri su una sequenza di \( \displaystyle {b} \) goccie imponendo che ognuna di esse cada in un tassello diverso... Ma secondo me moltiplicare poi questa probabilità per \( \displaystyle \frac{{{n}!}}{{{\left({b}!\right)}\cdot{\left({\left({n}-{b}\right)}!\right)}}} \) significa ancora una volta considerare gli eventi come indipendenti, ma in questo caso è possibile che ci sia più di una sequenza, ciascuna di \( \displaystyle {b} \) elementi, che bagni tutta la suerficie di area \( \displaystyle {b} \)
Tu non credi che dovremmo anche considerare la probabilità delle intersezioni?!?
Comunque sia hai ragione, direi che questo problema l'abbiamo analizzato abbastanza
Ciao!
