Piove sul bagnato...

[carlo23]

Questo è un problema simpatico, forse altri selo saranno posti guardando la pioggia cadere.

Abbiamo una superfice piana di area \( \displaystyle {A} \), incomincia a piovere, le goccie cadono sulla superficie in punti completamente casuali, si sa solo che cadono \( \displaystyle {n} \) goccie ogni secondo, ogni goccia bagna un unità di superficie, la bagna con una forma circolare.

Ora il problema è il seguente determinare la funzione \( \displaystyle {F}{\left({t},{b}\right)} \) che restituisce la probabilità che dopo \( \displaystyle {t} \) secondi si sia bagnata una superficie di area \( \displaystyle {b} \).

Attenzione una goccia può cadere su una superficie già bagnata!

Io inizio ad applicarmici stasera, qualcuno ha qualche idea su come risolverlo?

[eafkuor]

Interessante
Purtroppo come vedete dalle mie poche frequentazioni del forum ultimamente non ho molto tempo, ma se mi capita provo a lavorarci un po' su.

[Cecil_Hollorand]

Un salutone a tutti, sono un nuovo utente!
Mi chiamo Simone, abito a Torino e frequento ingegneria, ma sono molto appassionato di matematica !
Per quanto riguarda la pioggia, Carlo, hai poi fatto dei passi avanti? Io non sono riuscito a rispondere alla tua domanda, ma scrivo quello che ho pensato, sperando che sia utile per risolvere il problema "tosto":
- Risolviamo un problema più semplice... cosa accade nel caso di una superficie piana infinita, su cui cadono \( \displaystyle {i}{p} \) (intensità di pioggia ) goccie per unità di tempo e di area, supponengo che ogni goccia bagni una superficie circolare di area \( \displaystyle {S}{g} \)? Vista però l'estensione infinita della superficie da analizzare, secondo me è possibile passare dal discreto al continuo, per cui: se chiamiamo \( \displaystyle {y}{\left({t}\right)} \) la frazione di superficie bagnata al tempo \( \displaystyle {t} \), allora nell'intervallo di tempo che va da \( \displaystyle {t} \) a \( \displaystyle {t}+{\left.{d}{t}\right.} \) cadranno goccie che bagneranno una superficie \( \displaystyle {i}{p}\cdot{\left.{d}{t}\right.}\cdot{A}_{{t}}\cdot{S}{g} \) dove \( \displaystyle {A}_{{t}} \) è l'area dell'intera superficie piana (\( \displaystyle {A}_{{t}}\to\infty \)), di cui però solo la seguente è quella asciutta \( \displaystyle {i}{p}\cdot{\left.{d}{t}\right.}\cdot{A}_{{t}}\cdot{S}{g{\cdot}}{\left({1}-{y}{\left({t}\right)}\right)} \) (\( \displaystyle {1}-{y}{\left({t}\right)} \) è la probabilità che ha una goccia al tempo \( \displaystyle {t} \) di cadere su una superficie asciutta)!
Quindi l'ultima espressione scritta rappresenta l'incremento di area bagnata, che rapportato all'area totale e al \( \displaystyle {\left.{d}{t}\right.} \) mi da \( \displaystyle {y}'{\left({t}\right)} \)... notiamo come sia \( \displaystyle {\left.{d}{t}\right.} \) che \( \displaystyle {A}_{{t}} \) si semplifichino, ottenendo l'equazione differenziale:
\( \displaystyle {y}'{\left({t}\right)}={i}{p}\cdot{S}{g{\cdot}}{\left({1}-{y}{\left({t}\right)}\right)} \)
Che, abbinata alla condizione iniziale nulla:
\( \displaystyle {y}{\left({0}\right)}={0} \)
(All'inizio è tutto asciutto)
Costituisce un problema di Cauchy con soluzione:
\( \displaystyle {y}{\left({t}\right)}={1}-{{e}}^{{-{i}{p}\cdot{S}{g{\cdot}}{t}}} \)
Che ne dite?! (Scusatemi per la lunghezza della risposta!)
Detto questo, per una superficie non infinita, si potrebbe approssimare \( \displaystyle {i}{p} \) come \( \displaystyle \frac{{n}}{{A}} \) (\( \displaystyle {n} \) goccie al secondo, rapportate all'area su cui cadono, \( \displaystyle {A} \))... ma il problema è così risolto in maniera deterministica, mentre Carlo chiede una funzione probabilità, che appunto ha senso solo se ragioniamo nel discreto, secondo me, come poi è nella realtà!
Credo però che \( \displaystyle {F}{\left({t},{b}\right)}={0} \), in quanto la probabilità che si sia bagnata una superficie ESATTAMENTE pari a \( \displaystyle {b} \) è nulla, mentre si potrebbe passare alla funzione densità di probabilità \( \displaystyle {f{{\left({t},{b}\right)}}} \)... Io ho provato a ricavare un modello che date due goccie, dia la funzione densità di probabilità rispetto all'area della loro intersezione, per una superficie qualsiasi, trascurando i bordi... se volete la posto!
Ciaociao!
P.S. Sono un po' impegnato con alcuni esami , scusate se non dovessi rispondere in giornata!

[carlo23]

Ti confesso che ho messo da parte questo problema per dedicarmi ad altri

La tua risposta non è male, però non sono d'accordo sul Fatto che \( \displaystyle {F}{\left({t},{b}\right)}={0} \), infatti ciò implica che dopo \( \displaystyle {t} \) la superficie bagnata non è nessun \( \displaystyle {b} \) e ciò è impossibile.

Credo comunque che la tua via sia la mmigliore per risolvere questo problema...

Ciao, e benvenuto nel Forum!

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Io ho individuato due caratteristiche di questa funzione:
\( \displaystyle \forall{b}\ne{A} \)
\( \displaystyle \lim_{{{t}\to\infty}}{F}{\left({t},{b}\right)}={0} \)
\( \displaystyle \lim_{{{t}\to\infty}}{F}{\left({t},{b}\right)}={1} \) se \( \displaystyle {b}={A} \)
Che dovrebbe rappresentare che per un tempo infinito la superficie in oggetto si bagna tutta, e quindi la probabilità che sia bagnata una parte minore di A è nulla. Secondo me questa è una ipotesi ragionevole.
A voi il giudizio.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Aggiungo che secondo me otterremo una equazione alle derivate parziali....

[Cecil_Hollorand]

Ciao Carlo e grazie per il benvenuto!
Secondo me Giovanni il chimico ha ragione...
Però, ragazzi, mi spiego meglio sul fatto di \( \displaystyle {F}{\left({t},{b}\right)}={0} \)....
Secondo me il problema è analogo a quanto capita in fisica, con la distribuzione Maxwelliana delle velocità in un gas in equilibrio; alla domanda: "Qual è la probabilità che una molecola del gas abbia velocità esattamente pari a \( \displaystyle {v} \)?" la risposta è "nessuna" mentre \( \displaystyle \exists \) ed è finito il rapporto fra la probabilità che una molecola abbia velocità appartenente ad un intorno di \( \displaystyle {v} \) di ampiezza infinitesima \( \displaystyle {d}{v} \) e tale ampiezza; questo rapporto si indica come \( \displaystyle {f{{\left({v}\right)}}} \) e, ovviamente:
\( \displaystyle {\int_{{{v}_{{1}}}}^{{{v}_{{2}}}}}{f{{\left({v}\right)}}}{d}{v} \) è la probabilità che una molecola abbia velocità compresa tra \( \displaystyle {v}_{{1}} \) e \( \displaystyle {v}_{{2}} \)
\( \displaystyle {\int_{{{0}}}^{\infty}}{f{{\left({v}\right)}}}{d}{v}={1} \)
(Guardate questo link: http://lorax.chem.upenn.edu/Education/MB/MBjava.html)
Questo approccio è tipico delle distribuzioni statistiche di tipo continuo (normale, t-student, esponenziale, weibull ecc..) e, in pratica, pensavo potrebbe essere applicato anche in questo caso dove, ad un generico istante t, vi sono varie possibili aree bagnate... ed una funzione \( \displaystyle {f{{\left({t},{b}\right)}}} \), tale che:
\( \displaystyle {\int_{{{0}}}^{{{A}}}}{f{{\left({t}_{{0}},{b}\right)}}}{d}{b}={1} \) \( \displaystyle \forall{t}_{{0}}\in{\left[{0},+\infty\right]} \)
e, ovviamente, tale funzione sarà nulla per valori di \( \displaystyle {b} \) superiori alla massima area bagnabile al tempo \( \displaystyle {t}_{{o}} \) (se tutte le goccie cadono in posti diversi, detto brutalmente) e dopo la caduta della prima goccia sarà nulla anche per \( \displaystyle {b}\in{\left[{0},{S}{g}\right]} \)... Inoltre il baricentro della funzione si sposterà sempre di più verso \( \displaystyle {A} \) con il passare del tempo!
Quello che sono riuscito a fare io è, in sostanza, questo:
Mi sono detto, supponiamo di avere due goccie: la prima cade, ma in un punto qualsiasi; poi cade la seconda. Dove cadrà?
La probabilità che cada in un punto preciso è (stesso discorso di sopra) nulla, mentre è finita la probabilità che cada in una certa area... tutte le aree sono equiprobabili, quindi \( \displaystyle \frac{{{d}{A}}}{{A}} \) è la probabilità che cada in una qualsiasi zona di area \( \displaystyle {d}{A} \) sapendo che l'area totale della superficie piana vale \( \displaystyle {A} \)
Adesso supponiamo che la distanza fra i centri delle goccie sia \( \displaystyle {d} \) ed \( \displaystyle {r}{g} \) sia il raggio di una goccia; se \( \displaystyle {d}\lt{2}{r}{g} \) vi è un'intersezione... in questo caso se indichiamo con \( \displaystyle {A} \) e \( \displaystyle {B} \) i punti di intersezione e \( \displaystyle {O}_{{1}} \) e \( \displaystyle {O}_{{2}} \) i centri delle due goccie, allora se \( \displaystyle \beta=\angle{A}{O}_{{1}}{B}=\angle{A}{O}_{{2}}{B}={2}{a}{r}{\cos{{\left(\frac{{d}}{{{2}{r}{g}}}\right)}}} \) l'area del triangolo \( \displaystyle {A}{O}_{{1}}{B} \) vale \( \displaystyle \frac{{d}}{{2}}\cdot\sqrt{{{r}{{g}}^{{2}}-{{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)}}^{{2}}}} \) mentre l'area del settore circolare \( \displaystyle {A}{O}_{{1}}{B} \) (o di \( \displaystyle {A}{O}_{{2}}{B} \)) vale \( \displaystyle \frac{\beta}{{2}}\cdot{r}{{g}}^{{2}}={a}{r}{\cos{{\left(\frac{{d}}{{{2}{r}{g}}}\right)}}}{r}{{g}}^{{2}} \).
Quindi l'area dell'intersezione, che vale il doppo della differenza delle due aree vale in definitiva:
\( \displaystyle {2}{\left({a}{r}{\cos{{\left(\frac{{d}}{{{2}{r}{g}}}\right)}}}{r}{{g}}^{{2}}-\frac{{d}}{{2}}\cdot\sqrt{{{r}{{g}}^{{2}}-{{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)}}^{{2}}}}\right)} \)
Che quindi risulta solo funzione della distanza \( \displaystyle {d} \) e che io chiamerei \( \displaystyle {I}{\left({d}\right)} \).
Ora, la probabilità che la distanza fra i centri delle due circonferenze sia compresa fra \( \displaystyle {d} \) e \( \displaystyle {d}+\delta{d} \), pensando che la prima goccia sia già caduta e stia cadendo la seconda (probabilità condizionata) è proporzionale all'area del settore circolare centrato su \( \displaystyle {O}_{{1}} \) e che "va" da \( \displaystyle {d} \) a \( \displaystyle {d}+\delta{d} \) che, inserito nella formula scritta sopra, permette di ottenere:
\( \displaystyle {P}=\frac{{{\left(\frac{\pi}{{2}}\right)}\cdot{d}\cdot\delta{d}}}{{A}}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{\left({Q}{u}{e}{s}\to{p}{e}{r}ò{r}{i}\chi{e}{d}{e}{l}'{i}{p}{o}{t}{e}{s}{i}{c}{h}{e}{l}{a}{\sec{{o}}}{n}{d}{a}{g{{o}}}{\mathcal{{i}}}{a}{p}{o}{s}{s}{a}{c}{a}{d}{e}{r}{e}\in{t}{u}{\mathtt{{i}}}{i}{p}{u}{n}{t}{i}\partial{l}{a}{c}{\quad\text{or}\quad}{o}{n}{a}\circ{o}{l}{a}{r}{e},{e}{c}{h}{e}{q}{u}\in{d}{i}{l}{a}{p}{r}{i}{m}{a}{g{{o}}}{\mathcal{{i}}}{a}{n}{o}{n}{s}{i}{a}{c}{a}{d}{u}{t}{a}{v}{i}{c}\in{o}{a}{d}{u}{n}{b}{\quad\text{or}\quad}{d}{o}\right)}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{C}{o}{m}{e}{s}{i}{v}{e}{d}{e},{t}{a}\le{p}{r}{o}{b}{a}{b}{i}{l}{i}{t}àè\in{f{\in}}{i}{t}{e}\sim{a},{m}{a}è{f{\in}}{i}\to{i}{l}{r}{a}{p}{p}{\quad\text{or}\quad}\to{\mathfrak{{a}}}{e}{s}{s}{a}{e}{l}'{a}{r}{e}{a}\partial{l}'\int{e}{r}{s}{e}{z}{i}{o}\ne{a}{c}{u}{i}{c}{\quad\text{or}\quad}{r}{i}{s}{p}{o}{n}{d}{e},{o}\vee{e}{r}{o} \)I(d)-I(d+deltad)=-I'(d)*deltad=2sqrt(rg^2-(d/2)^2)deltad
Tale rapporto vale:
\( \displaystyle {f{=}}\frac{{\pi{d}}}{{{4}{A}\sqrt{{{r}{{g}}^{{2}}-{{\left(\frac{{d}}{{2}}\right)}}^{{2}}}}}}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{I}{n}{d}{e}{f{\in}}{i}{t}{i}{v}{a} \)AA d in [0,2rg]\( \displaystyle {c}{i}{s}{i}{t}{r}{o}{v}{a} \)I\( \displaystyle {e} \)f\( \displaystyle {e}{q}{u}\in{d}{i} \)f(I)\( \displaystyle \ldots{e}{\sec{{o}}}{n}{d}{o}{m}{e} \)int_(I_1)^(I_2)f(I)dI\( \displaystyle è\propto{r}{i}{o}{l}{a}{p}{r}{o}{b}{a}{b}{i}{l}{i}{t}à{c}{h}{e}{l}'{a}{r}{e}{a}\partial{l}'\int{e}{r}{s}{e}{z}{i}{o}\ne{v}{a}{l}{g{{a}}}{u}{n}{v}{a}{l}{\quad\text{or}\quad}{e}{c}{o}{m}{p}{r}{e}{s}{o}{\mathfrak{{a}}} \)I_1\( \displaystyle {e} \)I_2\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{I}{n}{f{\in}}{e} \)f(I)=0\( \displaystyle {p}{e}{r} \)I in [-infty,0]\( \displaystyle {e} \)I in [pirg^2,infty]\( \displaystyle ,{m}{e}{n}{t}{r}{e}\in{z}{e}{r}{o}{s}{i}{c}{o}{n}{c}{e}{n}{t}{r}{a}{l}{a}{p}{r}{o}{b}{a}{b}{i}{l}{i}{t}à\partial{l}'{a}{r}{e}{a}\in{c}{u}{i}\le{d}{u}{e}{g{{o}}}{\mathcal{{i}}}{e}{n}{o}{n}{s}{i}\int{e}{r}{\sec{{a}}}{n}{o},{o}\vee{e}{r}{o}{q}{u}{\quad\text{and}\quad}{o}{i}{l}{c}{e}{n}{t}{r}{o}\partial{l}{a}{\sec{{o}}}{n}{d}{a}{g{{o}}}{\mathcal{{i}}}{a}è{e}{s}{t}{e}{r}{n}{o}{a}{l}{c}{e}{r}\chi{o}{c}{e}{n}{t}{r}{a}\to\in \)O_1\( \displaystyle {e}{d}{i}{r}{a}{g{{g{{i}}}}}{o} \)2rg\( \displaystyle {\left(\right.} \)P_(est)=(A-pi(2rg)^2)/A\( \displaystyle \)\ldots{p}{e}{r}{c}{i}ò{\sec{{o}}}{n}{d}{o}{m}{e},{p}{a}{s}{s}{\quad\text{and}\quad}{o}{a}{l}{l}{a}{t}{e}{\quad\text{or}\quad}{i}{a}\partial\le{d}{i}{s}{t}{r}{i}{b}{u}{z}{i}{o}{n}{i}\in{z}{e}{r}{o}{v}{i}è{u}{n}{a}\delta{d}{i}{D}{i}{r}{a}{c},{o}\vee{e}{r}{o}{l}ì \)f\( \displaystyle {v}{a}\le\in{f{\in}}{i}\to{m}{a}\in{u}{n}\int{\quad\text{or}\quad}{n}{o}\in{f{\in}}{i}{t}{e}\sim{o},{t}{a}\le{c}{h}{e}{l}{a}{s}{u}{a}{a}{r}{e}{a}{v}{a}{l}{g{{a}}}{c}{o}{m}{p}\le{s}{s}{i}{v}{a}{m}{e}{n}{t}{e} \)P_(est)$... su questo punto non ne sono sicuro però!
Spero di essere stato abbastanza chiaro, se no chiedetemi

P.S. Scusatemi per la lunghezza, che è esagerata! Mi spiace.. voi come fate ad essere così sintetici?!

[ottusangolo]

Ciao a tutti, sono un nuovo utente,
non so se ho capito bene cosa richiesto, ma se il problema e' trovare la superficie bagnata ,in media,al variare del tempo \( \displaystyle {t} \) credo che la funzione
\( \displaystyle {s}{\left({t}\right)} \) sia
\( \displaystyle {s}{\left({t}\right)}={A}-{A}\cdot{{e}}^{{{\left(-\frac{{N}}{{A}}\right)}\cdot{t}}} \)
PS La superficie pertanto non sara' mai tutta bagnata, dato un tempo qualsiasi esistera' sempre un \( \displaystyle {d}{s} \) asciutto.
Se vi interessa sapere come sono arrivato a questa conclusione spero di potervi rispondere domani, sono capitato sul vostro interessante sito un po' troppo tardi ed ora mi si chiudono gli occhi dal sonno. Buonanotte a tutti.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Ciao e benvenuto, il problema è trovare una funzione \( \displaystyle {F}{\left({t},{b}\right)} \) che \( \displaystyle \forall{t},{b} \) restituisca la probabilità che a quel tempo \( \displaystyle {t} \)l'area bagnata abbia estensione \( \displaystyle {b} \).

[Cecil_Hollorand]

ciao Ottusangolo, anch'io sono pervenuto ad una formula uguale alla tua (leggi due miei post fa), ovvero esponenziale...
Però come dice giustamente giovanni il problema non sarebbe solo la determinazione della media, ma della distribuzione di probabilità!
Vedo che non vi ho convinti sul fatto che \( \displaystyle {F}{\left({t},{b}\right)}={0} \) eh?!?

Ovvero, ha ragione anche carlo con la sua obiezione... più precisamente, secondo me, \( \displaystyle {F}{\left({t},{b}\right)} \) non vale 0 ma è infinitesima!
ciao