Poligoni ed aree

[JvloIvk]

Sia P un poligono convesso di n lati.Si congiunga
un suo vertice a tutti gli altri in modo da ottenere
n-2 diagonali.Indicati con l(1),l(2)...l(n) e con d(1),
d(2)...d(n-2)rispettivamente i lati e le diagonali del
poligono dimostrare che :
l(1)^2+l(2)^2+...+l(n)^2+2(d(1)^2+d(2)^2+...+d(n-2)^2)>=4(n-2)A sqrt3
dove A è l'area del poligono

[Thomas]

Incomincio a dimostrare il tutto per il triangolo, il resto magari domani...

a^2+b^2+c^2>=4Arad(3)

definisco il triangolo con i lati a,b e l'angolo alfa compreso, riducendomi alla disuguaglianza,applicando il teorema del coseno:

a^2+b^2>=ab*[rad(3)sen(alfa)+cos(alfa)]

tempo fà avevo risolto un esercizio di karl dimostrando con Cauchy-Schwarz che

a*sen(alfa)+b*cos(alfa)<=rad(a^2+b^2)

applicando questo risultato sopra e usando un risltato della media aritmetico-geometrica:

a^2+b^2 >= 2ab >=ab *[rad(3)sen(alfa)+cos(alfa)]

-------
immagino ci siano anche altri metodi, tipo applicare Erone, ma questo mi pare abbastanza semplice ed a me piace...rimane "solo" la generalizzazione, ma è tutto da vedere se il medesimo procedimento od uno simile è applicabile! ciao!

[Thomas]

Ehm...ci stavo provando subito senza aspettare domani, dato che nn ho nulla di interessante da fare, ma ho trovato un errore nel testo, prima di tutto, infatti un poligono di n lati ha n*(n-3)/2 diagonali.

A questo punto non saprei come modificare il testo... suppongo che il testo sia la somma dei quadrati dei lati ed il doppio dei quadrati delle diagonali maggiori del secondo membro. Ma se prendo n=4 ed un quadrato di lato 1 viene:

4+4*2 >= 4*2*rad(3)
12>=13,6 e nn và bene...

[JvloIvk]

Ciao Thomas,felice di rincontrarti...
La tua dimostrazione è corretta sebbene un po'
contorta.Di questa disuguaglianza,nota come
disuguaglianza di Weitzenbock,si conoscono
molte dimostrazioni che puoi trovare al link:
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... ck&t=14388

Le diagonali in un poligono sono come hai detto
tu n*(n-3)/2 ma di queste si considerano solo alcune:
quelle ottenute congiungendo un solo vertice
del poligono con tutti gli altri.
L'errore comunque c'è:le diagonali ottenute sono n-3...
Detto questo lascio a te la generalizzazione,anche se
molto elementare.

[Thomas]

Ah...ok! Nn avevo compreso bene il tutto... Finisco quindi il lavoro iniziato...

Disegnando le n-3 diagonali troviamo (n-2) triangolini, ai quali si può applicare la formula già dimostrata prima. In questo maodo, considerando che i quadrati delle diagonali vengono contati due volte si ottiene la formula generalizzata...infatti, sommando membro a membro le equazioni per i triangolini, troviamo:

membro_sinistro>=4*rad(3)*[A1+A2+...+An-2]=4*rad(3)*[A_poligono]

riscrivendo la generalizzazione credo si ottenga:

S[k=1-->n]l^2+2*S[k=1-->n-3]d^2>=4*rad(3)*A


alla prossima!